Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36340 / 104629
↖ ↑ ↗
← S 72.545439°
W 80.189209°		 ← 91.61 m → S 72.545439°
W 80.186462°		 →
↑
91.61 m
↓
↑
91.61 m
↓
S 72.546262°
W 80.189209°		 ← 91.61 m →
8 393 m²		 S 72.546262°
W 80.186462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277256011962891 y=0.798259735107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277256011962891 × 217)
    floor (0.277256011962891 × 131072)
    floor (36340.5)     		tx = 36340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798259735107422 × 217)
    floor (0.798259735107422 × 131072)
    floor (104629.5)     		ty = 104629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36340 / 104629 ti = "17/36340/104629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36340/104629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36340 ÷ 217
    36340 ÷ 131072     		x = 0.277252197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104629 ÷ 217
    104629 ÷ 131072     		y = 0.798255920410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.44549560546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39956572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798255920410156 × 2 - 1) × π
    -0.596511840820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.87399721684686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39956572} λ = -1.39956572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87399721684686))-π/2
    2×atan(0.153508825752799)-π/2
    2×0.152319783100466-π/2
    0.304639566200931-1.57079632675     		φ = -1.26615676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39956572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.189209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26615676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.545439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36340 KachelY 104629 -1.39956572 -1.26615676 -80.189209 -72.545439
    Oben rechts KachelX + 1 36341 KachelY 104629 -1.39951778 -1.26615676 -80.186462 -72.545439
    Unten links KachelX 36340 KachelY + 1 104630 -1.39956572 -1.26617114 -80.189209 -72.546262
    Unten rechts KachelX + 1 36341 KachelY + 1 104630 -1.39951778 -1.26617114 -80.186462 -72.546262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26615676--1.26617114) × R
    1.43799999998695e-05 × 6371000     		dl = 91.6149799991686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26615676--1.26617114) × R
    1.43799999998695e-05 × 6371000     		dr = 91.6149799991686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39956572--1.39951778) × cos(-1.26615676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.299949357596556 × 6371000     		do = 91.6122545063926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39956572--1.39951778) × cos(-1.26617114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.299935639690829 × 6371000     		du = 91.6080647048846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26615676)-sin(-1.26617114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299949357596556-0.299935639690829)×R²
    abs(-1.39951778--1.39956572)×1.37179057271286e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37179057271286e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37179057271286e-05×40589641000000     		ar = 8392.86294015918m²