Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3634 / 5366
↖ ↑ ↗
← S 48.632909°
W 20.302734°		 ← 3 229.39 m → S 48.632909°
W 20.258789°		 →
↑
3 228.44 m
↓
↑
3 228.44 m
↓
S 48.661943°
W 20.302734°		 ← 3 227.53 m →
10 422 894 m²		 S 48.661943°
W 20.258789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44366455078125 y=0.65509033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44366455078125 × 213)
    floor (0.44366455078125 × 8192)
    floor (3634.5)     		tx = 3634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65509033203125 × 213)
    floor (0.65509033203125 × 8192)
    floor (5366.5)     		ty = 5366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3634 / 5366 ti = "13/3634/5366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3634/5366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3634 ÷ 213
    3634 ÷ 8192     		x = 0.443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5366 ÷ 213
    5366 ÷ 8192     		y = 0.655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.11279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35434956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.31005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.974077800279541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35434956} λ = -0.35434956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974077800279541))-π/2
    2×atan(0.377540360687545)-π/2
    2×0.360995973584002-π/2
    0.721991947168003-1.57079632675     		φ = -0.84880438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35434956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84880438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.632909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3634 KachelY 5366 -0.35434956 -0.84880438 -20.302734 -48.632909
    Oben rechts KachelX + 1 3635 KachelY 5366 -0.35358257 -0.84880438 -20.258789 -48.632909
    Unten links KachelX 3634 KachelY + 1 5367 -0.35434956 -0.84931112 -20.302734 -48.661943
    Unten rechts KachelX + 1 3635 KachelY + 1 5367 -0.35358257 -0.84931112 -20.258789 -48.661943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84880438--0.84931112) × R
    0.00050673999999995 × 6371000     		dl = 3228.44053999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84880438--0.84931112) × R
    0.00050673999999995 × 6371000     		dr = 3228.44053999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35434956--0.35358257) × cos(-0.84880438) × R
    0.000766990000000023 × 0.6608809198237 × 6371000     		do = 3229.39018020763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35434956--0.35358257) × cos(-0.84931112) × R
    0.000766990000000023 × 0.660500531290181 × 6371000     		du = 3227.531414191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84880438)-sin(-0.84931112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6608809198237-0.660500531290181)×R²
    abs(-0.35358257--0.35434956)×0.000380388533518849×R²
    0.000766990000000023×0.000380388533518849×6371000²
    0.000766990000000023×0.000380388533518849×40589641000000     		ar = 10422893.9425142m²