Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3634 / 1765
↖ ↑ ↗
← N 71.002660°
W 20.302734°		 ← 1 590.67 m → N 71.002660°
W 20.258789°		 →
↑
1 591.28 m
↓
↑
1 591.28 m
↓
N 70.988349°
W 20.302734°		 ← 1 591.83 m →
2 532 130 m²		 N 70.988349°
W 20.258789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44366455078125 y=0.21551513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44366455078125 × 213)
    floor (0.44366455078125 × 8192)
    floor (3634.5)     		tx = 3634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21551513671875 × 213)
    floor (0.21551513671875 × 8192)
    floor (1765.5)     		ty = 1765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3634 / 1765 ti = "13/3634/1765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3634/1765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3634 ÷ 213
    3634 ÷ 8192     		x = 0.443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1765 ÷ 213
    1765 ÷ 8192     		y = 0.2154541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.11279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35434956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2154541015625 × 2 - 1) × π
    0.569091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78785460822961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35434956} λ = -0.35434956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78785460822961))-π/2
    2×atan(5.9766165183446)-π/2
    2×1.40501325791525-π/2
    2.81002651583051-1.57079632675     		φ = 1.23923019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35434956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23923019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.002660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3634 KachelY 1765 -0.35434956 1.23923019 -20.302734 71.002660
    Oben rechts KachelX + 1 3635 KachelY 1765 -0.35358257 1.23923019 -20.258789 71.002660
    Unten links KachelX 3634 KachelY + 1 1766 -0.35434956 1.23898042 -20.302734 70.988349
    Unten rechts KachelX + 1 3635 KachelY + 1 1766 -0.35358257 1.23898042 -20.258789 70.988349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23923019-1.23898042) × R
    0.000249769999999927 × 6371000     		dl = 1591.28466999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23923019-1.23898042) × R
    0.000249769999999927 × 6371000     		dr = 1591.28466999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35434956--0.35358257) × cos(1.23923019) × R
    0.000766990000000023 × 0.32552426210914 × 6371000     		do = 1590.67212252856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35434956--0.35358257) × cos(1.23898042) × R
    0.000766990000000023 × 0.325760417901964 × 6371000     		du = 1591.82609622559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23923019)-sin(1.23898042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32552426210914-0.325760417901964)×R²
    abs(-0.35358257--0.35434956)×0.000236155792823878×R²
    0.000766990000000023×0.000236155792823878×6371000²
    0.000766990000000023×0.000236155792823878×40589641000000     		ar = 2532130.32706521m²