Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36339 / 48436
↖ ↑ ↗
← S 64.895589°
E 19.616089°		 ← 259.14 m → S 64.895589°
E 19.621582°		 →
↑
259.17 m
↓
↑
259.17 m
↓
S 64.897920°
E 19.616089°		 ← 259.12 m →
67 159 m²		 S 64.897920°
E 19.621582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554496765136719 y=0.739082336425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554496765136719 × 216)
    floor (0.554496765136719 × 65536)
    floor (36339.5)     		tx = 36339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739082336425781 × 216)
    floor (0.739082336425781 × 65536)
    floor (48436.5)     		ty = 48436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36339 / 48436 ti = "16/36339/48436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36339/48436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36339 ÷ 216
    36339 ÷ 65536     		x = 0.554489135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48436 ÷ 216
    48436 ÷ 65536     		y = 0.73907470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554489135742188 × 2 - 1) × π
    0.108978271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34236534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.4781494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50215068649408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34236534} λ = 0.34236534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50215068649408))-π/2
    2×atan(0.222650792795796)-π/2
    2×0.219077311336157-π/2
    0.438154622672314-1.57079632675     		φ = -1.13264170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34236534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.616089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13264170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.895589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36339 KachelY 48436 0.34236534 -1.13264170 19.616089 -64.895589
    Oben rechts KachelX + 1 36340 KachelY 48436 0.34246121 -1.13264170 19.621582 -64.895589
    Unten links KachelX 36339 KachelY + 1 48437 0.34236534 -1.13268238 19.616089 -64.897920
    Unten rechts KachelX + 1 36340 KachelY + 1 48437 0.34246121 -1.13268238 19.621582 -64.897920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13264170--1.13268238) × R
    4.06800000001262e-05 × 6371000     		dl = 259.172280000804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13264170--1.13268238) × R
    4.06800000001262e-05 × 6371000     		dr = 259.172280000804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34236534-0.34246121) × cos(-1.13264170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424269136289629 × 6371000     		do = 259.138399634163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34236534-0.34246121) × cos(-1.13268238) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42423229872843 × 6371000     		du = 259.115899702306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13264170)-sin(-1.13268238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424269136289629-0.42423229872843)×R²
    abs(0.34246121-0.34236534)×3.68375611994876e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68375611994876e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68375611994876e-05×40589641000000     		ar = 67158.5741987084m²