Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36336 / 104627
↖ ↑ ↗
← S 72.543791°
W 80.200195°		 ← 91.62 m → S 72.543791°
W 80.197449°		 →
↑
91.61 m
↓
↑
91.61 m
↓
S 72.544615°
W 80.200195°		 ← 91.62 m →
8 394 m²		 S 72.544615°
W 80.197449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277225494384766 y=0.798244476318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277225494384766 × 217)
    floor (0.277225494384766 × 131072)
    floor (36336.5)     		tx = 36336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798244476318359 × 217)
    floor (0.798244476318359 × 131072)
    floor (104627.5)     		ty = 104627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36336 / 104627 ti = "17/36336/104627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36336/104627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36336 ÷ 217
    36336 ÷ 131072     		x = 0.2772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104627 ÷ 217
    104627 ÷ 131072     		y = 0.798240661621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.445556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39975747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798240661621094 × 2 - 1) × π
    -0.596481323242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.87390134304762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39975747} λ = -1.39975747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87390134304762))-π/2
    2×atan(0.153523543932673)-π/2
    2×0.152334162400233-π/2
    0.304668324800466-1.57079632675     		φ = -1.26612800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39975747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.200195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26612800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.543791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36336 KachelY 104627 -1.39975747 -1.26612800 -80.200195 -72.543791
    Oben rechts KachelX + 1 36337 KachelY 104627 -1.39970953 -1.26612800 -80.197449 -72.543791
    Unten links KachelX 36336 KachelY + 1 104628 -1.39975747 -1.26614238 -80.200195 -72.544615
    Unten rechts KachelX + 1 36337 KachelY + 1 104628 -1.39970953 -1.26614238 -80.197449 -72.544615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26612800--1.26614238) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dl = 91.6149800005832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26612800--1.26614238) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dr = 91.6149800005832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39975747--1.39970953) × cos(-1.26612800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.299976793221933 × 6371000     		do = 91.6206340525758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39975747--1.39970953) × cos(-1.26614238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.299963075440258 × 6371000     		du = 91.6164442889566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26612800)-sin(-1.26614238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299976793221933-0.299963075440258)×R²
    abs(-1.39970953--1.39975747)×1.37177816748046e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37177816748046e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37177816748046e-05×40589641000000     		ar = 8393.63063386133m²