Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36334 / 104630
↖ ↑ ↗
← S 72.546262°
W 80.205688°		 ← 91.59 m → S 72.546262°
W 80.202942°		 →
↑
91.61 m
↓
↑
91.61 m
↓
S 72.547086°
W 80.205688°		 ← 91.58 m →
8 391 m²		 S 72.547086°
W 80.202942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277210235595703 y=0.798267364501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277210235595703 × 217)
    floor (0.277210235595703 × 131072)
    floor (36334.5)     		tx = 36334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798267364501953 × 217)
    floor (0.798267364501953 × 131072)
    floor (104630.5)     		ty = 104630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36334 / 104630 ti = "17/36334/104630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36334/104630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36334 ÷ 217
    36334 ÷ 131072     		x = 0.277206420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104630 ÷ 217
    104630 ÷ 131072     		y = 0.798263549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277206420898438 × 2 - 1) × π
    -0.445587158203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39985334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798263549804688 × 2 - 1) × π
    -0.596527099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.87404515374648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39985334} λ = -1.39985334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87404515374648))-π/2
    2×atan(0.153501467192003)-π/2
    2×0.152312593943737-π/2
    0.304625187887473-1.57079632675     		φ = -1.26617114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39985334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.205688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26617114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.546262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36334 KachelY 104630 -1.39985334 -1.26617114 -80.205688 -72.546262
    Oben rechts KachelX + 1 36335 KachelY 104630 -1.39980541 -1.26617114 -80.202942 -72.546262
    Unten links KachelX 36334 KachelY + 1 104631 -1.39985334 -1.26618552 -80.205688 -72.547086
    Unten rechts KachelX + 1 36335 KachelY + 1 104631 -1.39980541 -1.26618552 -80.202942 -72.547086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26617114--1.26618552) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dl = 91.6149800005832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26617114--1.26618552) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dr = 91.6149800005832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39985334--1.39980541) × cos(-1.26617114) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.299935639690829 × 6371000     		do = 91.588955805396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39985334--1.39980541) × cos(-1.26618552) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.299921921723079 × 6371000     		du = 91.5847668589166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26617114)-sin(-1.26618552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299935639690829-0.299921921723079)×R²
    abs(-1.39980541--1.39985334)×1.37179677493493e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.37179677493493e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.37179677493493e-05×40589641000000     		ar = 8390.72846941365m²