Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36333 / 104628
↖ ↑ ↗
← S 72.544615°
W 80.208435°		 ← 91.62 m → S 72.544615°
W 80.205688°		 →
↑
91.61 m
↓
↑
91.61 m
↓
S 72.545439°
W 80.208435°		 ← 91.61 m →
8 393 m²		 S 72.545439°
W 80.205688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277202606201172 y=0.798252105712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277202606201172 × 217)
    floor (0.277202606201172 × 131072)
    floor (36333.5)     		tx = 36333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798252105712891 × 217)
    floor (0.798252105712891 × 131072)
    floor (104628.5)     		ty = 104628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36333 / 104628 ti = "17/36333/104628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36333/104628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36333 ÷ 217
    36333 ÷ 131072     		x = 0.277198791503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104628 ÷ 217
    104628 ÷ 131072     		y = 0.798248291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277198791503906 × 2 - 1) × π
    -0.445602416992188 × 3.1415926535     		Λ = -1.39990128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798248291015625 × 2 - 1) × π
    -0.59649658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.87394927994724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39990128} λ = -1.39990128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87394927994724))-π/2
    2×atan(0.15351618466635)-π/2
    2×0.15232697258596-π/2
    0.30465394517192-1.57079632675     		φ = -1.26614238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39990128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.208435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26614238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.544615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36333 KachelY 104628 -1.39990128 -1.26614238 -80.208435 -72.544615
    Oben rechts KachelX + 1 36334 KachelY 104628 -1.39985334 -1.26614238 -80.205688 -72.544615
    Unten links KachelX 36333 KachelY + 1 104629 -1.39990128 -1.26615676 -80.208435 -72.545439
    Unten rechts KachelX + 1 36334 KachelY + 1 104629 -1.39985334 -1.26615676 -80.205688 -72.545439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26614238--1.26615676) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dl = 91.6149800005832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26614238--1.26615676) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dr = 91.6149800005832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39990128--1.39985334) × cos(-1.26614238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.299963075440258 × 6371000     		do = 91.6164442889566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39990128--1.39985334) × cos(-1.26615676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.299949357596556 × 6371000     		du = 91.6122545063926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26614238)-sin(-1.26615676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299963075440258-0.299949357596556)×R²
    abs(-1.39985334--1.39990128)×1.37178437025209e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37178437025209e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37178437025209e-05×40589641000000     		ar = 8393.24678798241m²