Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36333 / 104601
↖ ↑ ↗
← S 72.522356°
W 80.208435°		 ← 91.73 m → S 72.522356°
W 80.205688°		 →
↑
91.74 m
↓
↑
91.74 m
↓
S 72.523181°
W 80.208435°		 ← 91.73 m →
8 415 m²		 S 72.523181°
W 80.205688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277202606201172 y=0.798046112060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277202606201172 × 217)
    floor (0.277202606201172 × 131072)
    floor (36333.5)     		tx = 36333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798046112060547 × 217)
    floor (0.798046112060547 × 131072)
    floor (104601.5)     		ty = 104601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36333 / 104601 ti = "17/36333/104601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36333/104601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36333 ÷ 217
    36333 ÷ 131072     		x = 0.277198791503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104601 ÷ 217
    104601 ÷ 131072     		y = 0.798042297363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277198791503906 × 2 - 1) × π
    -0.445602416992188 × 3.1415926535     		Λ = -1.39990128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798042297363281 × 2 - 1) × π
    -0.596084594726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.87265498365749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39990128} λ = -1.39990128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87265498365749))-π/2
    2×atan(0.153715008735451)-π/2
    2×0.152521213017046-π/2
    0.305042426034092-1.57079632675     		φ = -1.26575390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39990128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.208435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26575390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.522356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36333 KachelY 104601 -1.39990128 -1.26575390 -80.208435 -72.522356
    Oben rechts KachelX + 1 36334 KachelY 104601 -1.39985334 -1.26575390 -80.205688 -72.522356
    Unten links KachelX 36333 KachelY + 1 104602 -1.39990128 -1.26576830 -80.208435 -72.523181
    Unten rechts KachelX + 1 36334 KachelY + 1 104602 -1.39985334 -1.26576830 -80.205688 -72.523181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26575390--1.26576830) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dl = 91.7423999998088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26575390--1.26576830) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dr = 91.7423999998088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39990128--1.39985334) × cos(-1.26575390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300333643608 × 6371000     		do = 91.7296253458095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39990128--1.39985334) × cos(-1.26576830) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30031990836422 × 6371000     		du = 91.725430248814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26575390)-sin(-1.26576830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300333643608-0.30031990836422)×R²
    abs(-1.39985334--1.39990128)×1.37352437798444e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37352437798444e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37352437798444e-05×40589641000000     		ar = 8415.3035462119m²