Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36330 / 104634
↖ ↑ ↗
← S 72.549558°
W 80.216675°		 ← 91.59 m → S 72.549558°
W 80.213928°		 →
↑
91.55 m
↓
↑
91.55 m
↓
S 72.550381°
W 80.216675°		 ← 91.59 m →
8 385 m²		 S 72.550381°
W 80.213928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277179718017578 y=0.798297882080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277179718017578 × 217)
    floor (0.277179718017578 × 131072)
    floor (36330.5)     		tx = 36330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798297882080078 × 217)
    floor (0.798297882080078 × 131072)
    floor (104634.5)     		ty = 104634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36330 / 104634 ti = "17/36330/104634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36330/104634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36330 ÷ 217
    36330 ÷ 131072     		x = 0.277175903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104634 ÷ 217
    104634 ÷ 131072     		y = 0.798294067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277175903320312 × 2 - 1) × π
    -0.445648193359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40004509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798294067382812 × 2 - 1) × π
    -0.596588134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.87423690134496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40004509} λ = -1.40004509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87423690134496))-π/2
    2×atan(0.15347203647603)-π/2
    2×0.1522838406042-π/2
    0.3045676812084-1.57079632675     		φ = -1.26622865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40004509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.216675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26622865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.549558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36330 KachelY 104634 -1.40004509 -1.26622865 -80.216675 -72.549558
    Oben rechts KachelX + 1 36331 KachelY 104634 -1.39999715 -1.26622865 -80.213928 -72.549558
    Unten links KachelX 36330 KachelY + 1 104635 -1.40004509 -1.26624302 -80.216675 -72.550381
    Unten rechts KachelX + 1 36331 KachelY + 1 104635 -1.39999715 -1.26624302 -80.213928 -72.550381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26622865--1.26624302) × R
    1.43700000001523e-05 × 6371000     		dl = 91.5512700009704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26622865--1.26624302) × R
    1.43700000001523e-05 × 6371000     		dr = 91.5512700009704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40004509--1.39999715) × cos(-1.26622865) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.299880776987495 × 6371000     		do = 91.5913082235447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40004509--1.39999715) × cos(-1.26624302) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.299867068311539 × 6371000     		du = 91.5871212410464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26622865)-sin(-1.26624302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299880776987495-0.299867068311539)×R²
    abs(-1.39999715--1.40004509)×1.3708675955959e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.3708675955959e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.3708675955959e-05×40589641000000     		ar = 8385.10892718833m²