Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3633 / 1766
↖ ↑ ↗
← N 70.988349°
W 20.346680°		 ← 1 591.83 m → N 70.988349°
W 20.302734°		 →
↑
1 592.37 m
↓
↑
1 592.37 m
↓
N 70.974028°
W 20.346680°		 ← 1 592.98 m →
2 535 692 m²		 N 70.974028°
W 20.302734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44354248046875 y=0.21563720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44354248046875 × 213)
    floor (0.44354248046875 × 8192)
    floor (3633.5)     		tx = 3633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21563720703125 × 213)
    floor (0.21563720703125 × 8192)
    floor (1766.5)     		ty = 1766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3633 / 1766 ti = "13/3633/1766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3633/1766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3633 ÷ 213
    3633 ÷ 8192     		x = 0.4434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1766 ÷ 213
    1766 ÷ 8192     		y = 0.215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.113037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35511655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215576171875 × 2 - 1) × π
    0.56884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78708761783569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35511655} λ = -0.35511655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78708761783569))-π/2
    2×atan(5.97203426838237)-π/2
    2×1.4048883756474-π/2
    2.8097767512948-1.57079632675     		φ = 1.23898042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35511655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23898042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.988349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3633 KachelY 1766 -0.35511655 1.23898042 -20.346680 70.988349
    Oben rechts KachelX + 1 3634 KachelY 1766 -0.35434956 1.23898042 -20.302734 70.988349
    Unten links KachelX 3633 KachelY + 1 1767 -0.35511655 1.23873048 -20.346680 70.974028
    Unten rechts KachelX + 1 3634 KachelY + 1 1767 -0.35434956 1.23873048 -20.302734 70.974028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23898042-1.23873048) × R
    0.000249940000000004 × 6371000     		dl = 1592.36774000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23898042-1.23873048) × R
    0.000249940000000004 × 6371000     		dr = 1592.36774000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35511655--0.35434956) × cos(1.23898042) × R
    0.000766989999999967 × 0.325760417901964 × 6371000     		do = 1591.82609622548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35511655--0.35434956) × cos(1.23873048) × R
    0.000766989999999967 × 0.325996714085265 × 6371000     		du = 1592.98075593963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23898042)-sin(1.23873048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325760417901964-0.325996714085265)×R²
    abs(-0.35434956--0.35511655)×0.000236296183301232×R²
    0.000766989999999967×0.000236296183301232×6371000²
    0.000766989999999967×0.000236296183301232×40589641000000     		ar = 2535691.85795963m²