Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3633 / 1761
↖ ↑ ↗
← N 71.059798°
W 20.346680°		 ← 1 586.06 m → N 71.059798°
W 20.302734°		 →
↑
1 586.63 m
↓
↑
1 586.63 m
↓
N 71.045529°
W 20.346680°		 ← 1 587.21 m →
2 517 415 m²		 N 71.045529°
W 20.302734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44354248046875 y=0.21502685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44354248046875 × 213)
    floor (0.44354248046875 × 8192)
    floor (3633.5)     		tx = 3633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21502685546875 × 213)
    floor (0.21502685546875 × 8192)
    floor (1761.5)     		ty = 1761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3633 / 1761 ti = "13/3633/1761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3633/1761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3633 ÷ 213
    3633 ÷ 8192     		x = 0.4434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1761 ÷ 213
    1761 ÷ 8192     		y = 0.2149658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.113037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35511655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2149658203125 × 2 - 1) × π
    0.570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7909225698053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35511655} λ = -0.35511655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7909225698053))-π/2
    2×atan(5.99498070407935)-π/2
    2×1.4055118822283-π/2
    2.8110237644566-1.57079632675     		φ = 1.24022744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35511655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24022744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.059798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3633 KachelY 1761 -0.35511655 1.24022744 -20.346680 71.059798
    Oben rechts KachelX + 1 3634 KachelY 1761 -0.35434956 1.24022744 -20.302734 71.059798
    Unten links KachelX 3633 KachelY + 1 1762 -0.35511655 1.23997840 -20.346680 71.045529
    Unten rechts KachelX + 1 3634 KachelY + 1 1762 -0.35434956 1.23997840 -20.302734 71.045529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24022744-1.23997840) × R
    0.000249039999999923 × 6371000     		dl = 1586.63383999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24022744-1.23997840) × R
    0.000249039999999923 × 6371000     		dr = 1586.63383999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35511655--0.35434956) × cos(1.24022744) × R
    0.000766989999999967 × 0.32458116692711 × 6371000     		do = 1586.06369424963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35511655--0.35434956) × cos(1.23997840) × R
    0.000766989999999967 × 0.324816713297394 × 6371000     		du = 1587.2146900075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24022744)-sin(1.23997840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32458116692711-0.324816713297394)×R²
    abs(-0.35434956--0.35511655)×0.000235546370284168×R²
    0.000766989999999967×0.000235546370284168×6371000²
    0.000766989999999967×0.000235546370284168×40589641000000     		ar = 2517415.44711028m²