Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36329 / 105190
↖ ↑ ↗
← S 73.001727°
W 80.219422°		 ← 89.29 m → S 73.001727°
W 80.216675°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
S 73.002531°
W 80.219422°		 ← 89.28 m →
7 975 m²		 S 73.002531°
W 80.216675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277172088623047 y=0.802539825439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277172088623047 × 217)
    floor (0.277172088623047 × 131072)
    floor (36329.5)     		tx = 36329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802539825439453 × 217)
    floor (0.802539825439453 × 131072)
    floor (105190.5)     		ty = 105190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36329 / 105190 ti = "17/36329/105190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36329/105190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36329 ÷ 217
    36329 ÷ 131072     		x = 0.277168273925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105190 ÷ 217
    105190 ÷ 131072     		y = 0.802536010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277168273925781 × 2 - 1) × π
    -0.445663452148438 × 3.1415926535     		Λ = -1.40009303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802536010742188 × 2 - 1) × π
    -0.605072021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90088981753371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40009303} λ = -1.40009303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90088981753371))-π/2
    2×atan(0.149435589637565)-π/2
    2×0.148337911383241-π/2
    0.296675822766482-1.57079632675     		φ = -1.27412050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40009303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.219422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27412050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.001727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36329 KachelY 105190 -1.40009303 -1.27412050 -80.219422 -73.001727
    Oben rechts KachelX + 1 36330 KachelY 105190 -1.40004509 -1.27412050 -80.216675 -73.001727
    Unten links KachelX 36329 KachelY + 1 105191 -1.40009303 -1.27413452 -80.219422 -73.002531
    Unten rechts KachelX + 1 36330 KachelY + 1 105191 -1.40004509 -1.27413452 -80.216675 -73.002531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27412050--1.27413452) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dl = 89.3214200003758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27412050--1.27413452) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dr = 89.3214200003758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40009303--1.40004509) × cos(-1.27412050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292342875784506 × 6371000     		do = 89.2890391701522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40009303--1.40004509) × cos(-1.27413452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292329468239532 × 6371000     		du = 89.284944160807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27412050)-sin(-1.27413452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292342875784506-0.292329468239532)×R²
    abs(-1.40004509--1.40009303)×1.34075449738091e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34075449738091e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34075449738091e-05×40589641000000     		ar = 7975.24088318807m²