Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36329 / 105144
↖ ↑ ↗
← S 72.964753°
W 80.219422°		 ← 89.48 m → S 72.964753°
W 80.216675°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
S 72.965558°
W 80.219422°		 ← 89.47 m →
8 003 m²		 S 72.965558°
W 80.216675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277172088623047 y=0.802188873291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277172088623047 × 217)
    floor (0.277172088623047 × 131072)
    floor (36329.5)     		tx = 36329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802188873291016 × 217)
    floor (0.802188873291016 × 131072)
    floor (105144.5)     		ty = 105144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36329 / 105144 ti = "17/36329/105144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36329/105144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36329 ÷ 217
    36329 ÷ 131072     		x = 0.277168273925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105144 ÷ 217
    105144 ÷ 131072     		y = 0.80218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277168273925781 × 2 - 1) × π
    -0.445663452148438 × 3.1415926535     		Λ = -1.40009303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.6043701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89868472015118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40009303} λ = -1.40009303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89868472015118))-π/2
    2×atan(0.149765473244199)-π/2
    2×0.148660573701589-π/2
    0.297321147403178-1.57079632675     		φ = -1.27347518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40009303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.219422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27347518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.964753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36329 KachelY 105144 -1.40009303 -1.27347518 -80.219422 -72.964753
    Oben rechts KachelX + 1 36330 KachelY 105144 -1.40004509 -1.27347518 -80.216675 -72.964753
    Unten links KachelX 36329 KachelY + 1 105145 -1.40009303 -1.27348922 -80.219422 -72.965558
    Unten rechts KachelX + 1 36330 KachelY + 1 105145 -1.40004509 -1.27348922 -80.216675 -72.965558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27347518--1.27348922) × R
    1.40400000001595e-05 × 6371000     		dl = 89.4488400010161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27347518--1.27348922) × R
    1.40400000001595e-05 × 6371000     		dr = 89.4488400010161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40009303--1.40004509) × cos(-1.27347518) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29295994314294 × 6371000     		do = 89.4775074247317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40009303--1.40004509) × cos(-1.27348922) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292946519123059 × 6371000     		du = 89.4734073835259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27347518)-sin(-1.27348922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29295994314294-0.292946519123059)×R²
    abs(-1.40004509--1.40009303)×1.34240198806368e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34240198806368e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34240198806368e-05×40589641000000     		ar = 8003.47587329096m²