Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36328 / 38561
↖ ↑ ↗
← S 30.301761°
E 19.555664°		 ← 527.34 m → S 30.301761°
E 19.561157°		 →
↑
527.39 m
↓
↑
527.39 m
↓
S 30.306503°
E 19.555664°		 ← 527.32 m →
278 109 m²		 S 30.306503°
E 19.561157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554328918457031 y=0.588401794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554328918457031 × 216)
    floor (0.554328918457031 × 65536)
    floor (36328.5)     		tx = 36328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588401794433594 × 216)
    floor (0.588401794433594 × 65536)
    floor (38561.5)     		ty = 38561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36328 / 38561 ti = "16/36328/38561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36328/38561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36328 ÷ 216
    36328 ÷ 65536     		x = 0.5543212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38561 ÷ 216
    38561 ÷ 65536     		y = 0.588394165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5543212890625 × 2 - 1) × π
    0.108642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34131073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588394165039062 × 2 - 1) × π
    -0.176788330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.555396918997971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34131073} λ = 0.34131073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.555396918997971))-π/2
    2×atan(0.573844446224795)-π/2
    2×0.520965416840465-π/2
    1.04193083368093-1.57079632675     		φ = -0.52886549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34131073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.555664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52886549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.301761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36328 KachelY 38561 0.34131073 -0.52886549 19.555664 -30.301761
    Oben rechts KachelX + 1 36329 KachelY 38561 0.34140660 -0.52886549 19.561157 -30.301761
    Unten links KachelX 36328 KachelY + 1 38562 0.34131073 -0.52894827 19.555664 -30.306503
    Unten rechts KachelX + 1 36329 KachelY + 1 38562 0.34140660 -0.52894827 19.561157 -30.306503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52886549--0.52894827) × R
    8.2779999999949e-05 × 6371000     		dl = 527.391379999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52886549--0.52894827) × R
    8.2779999999949e-05 × 6371000     		dr = 527.391379999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34131073-0.34140660) × cos(-0.52886549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.863380047757645 × 6371000     		do = 527.341974032374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34131073-0.34140660) × cos(-0.52894827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.863338277806753 × 6371000     		du = 527.316461457216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52886549)-sin(-0.52894827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863380047757645-0.863338277806753)×R²
    abs(0.34140660-0.34131073)×4.1769950891335e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.1769950891335e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.1769950891335e-05×40589641000000     		ar = 278108.884019327m²