Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36328 / 27678
↖ ↑ ↗
← N 26.912274°
E 19.555664°		 ← 544.64 m → N 26.912274°
E 19.561157°		 →
↑
544.72 m
↓
↑
544.72 m
↓
N 26.907375°
E 19.555664°		 ← 544.66 m →
296 683 m²		 N 26.907375°
E 19.561157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554328918457031 y=0.422340393066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554328918457031 × 216)
    floor (0.554328918457031 × 65536)
    floor (36328.5)     		tx = 36328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422340393066406 × 216)
    floor (0.422340393066406 × 65536)
    floor (27678.5)     		ty = 27678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36328 / 27678 ti = "16/36328/27678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36328/27678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36328 ÷ 216
    36328 ÷ 65536     		x = 0.5543212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27678 ÷ 216
    27678 ÷ 65536     		y = 0.422332763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5543212890625 × 2 - 1) × π
    0.108642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34131073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422332763671875 × 2 - 1) × π
    0.15533447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.487997638132172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34131073} λ = 0.34131073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487997638132172))-π/2
    2×atan(1.62905100236488)-π/2
    2×1.02025205712768-π/2
    2.04050411425537-1.57079632675     		φ = 0.46970779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34131073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.555664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46970779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.912274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36328 KachelY 27678 0.34131073 0.46970779 19.555664 26.912274
    Oben rechts KachelX + 1 36329 KachelY 27678 0.34140660 0.46970779 19.561157 26.912274
    Unten links KachelX 36328 KachelY + 1 27679 0.34131073 0.46962229 19.555664 26.907375
    Unten rechts KachelX + 1 36329 KachelY + 1 27679 0.34140660 0.46962229 19.561157 26.907375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46970779-0.46962229) × R
    8.55000000000161e-05 × 6371000     		dl = 544.720500000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46970779-0.46962229) × R
    8.55000000000161e-05 × 6371000     		dr = 544.720500000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34131073-0.34140660) × cos(0.46970779) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.891700588030867 × 6371000     		do = 544.63981367105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34131073-0.34140660) × cos(0.46962229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.891739284272387 × 6371000     		du = 544.663448862116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46970779)-sin(0.46962229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891700588030867-0.891739284272387)×R²
    abs(0.34140660-0.34131073)×3.86962415208636e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86962415208636e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86962415208636e-05×40589641000000     		ar = 296682.909090024m²