Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36328 / 105192
↖ ↑ ↗
← S 73.003333°
W 80.222168°		 ← 89.26 m → S 73.003333°
W 80.219422°		 →
↑
89.26 m
↓
↑
89.26 m
↓
S 73.004136°
W 80.222168°		 ← 89.26 m →
7 967 m²		 S 73.004136°
W 80.219422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277164459228516 y=0.802555084228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277164459228516 × 217)
    floor (0.277164459228516 × 131072)
    floor (36328.5)     		tx = 36328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802555084228516 × 217)
    floor (0.802555084228516 × 131072)
    floor (105192.5)     		ty = 105192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36328 / 105192 ti = "17/36328/105192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36328/105192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36328 ÷ 217
    36328 ÷ 131072     		x = 0.27716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105192 ÷ 217
    105192 ÷ 131072     		y = 0.80255126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.4456787109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40014096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80255126953125 × 2 - 1) × π
    -0.6051025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90098569133295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40014096} λ = -1.40014096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90098569133295))-π/2
    2×atan(0.149421263366612)-π/2
    2×0.148323898014757-π/2
    0.296647796029514-1.57079632675     		φ = -1.27414853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40014096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.222168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27414853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.003333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36328 KachelY 105192 -1.40014096 -1.27414853 -80.222168 -73.003333
    Oben rechts KachelX + 1 36329 KachelY 105192 -1.40009303 -1.27414853 -80.219422 -73.003333
    Unten links KachelX 36328 KachelY + 1 105193 -1.40014096 -1.27416254 -80.222168 -73.004136
    Unten rechts KachelX + 1 36329 KachelY + 1 105193 -1.40009303 -1.27416254 -80.219422 -73.004136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27414853--1.27416254) × R
    1.40100000001198e-05 × 6371000     		dl = 89.257710000763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27414853--1.27416254) × R
    1.40100000001198e-05 × 6371000     		dr = 89.257710000763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40014096--1.40009303) × cos(-1.27414853) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292316070200316 × 6371000     		do = 89.2622285980455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40014096--1.40009303) × cos(-1.27416254) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292302672103723 × 6371000     		du = 89.2581373280719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27414853)-sin(-1.27416254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292316070200316-0.292302672103723)×R²
    abs(-1.40009303--1.40014096)×1.33980965924541e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33980965924541e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33980965924541e-05×40589641000000     		ar = 7967.15952558895m²