Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36328 / 104633
↖ ↑ ↗
← S 72.548734°
W 80.222168°		 ← 91.58 m → S 72.548734°
W 80.219422°		 →
↑
91.61 m
↓
↑
91.61 m
↓
S 72.549558°
W 80.222168°		 ← 91.57 m →
8 390 m²		 S 72.549558°
W 80.219422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277164459228516 y=0.798290252685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277164459228516 × 217)
    floor (0.277164459228516 × 131072)
    floor (36328.5)     		tx = 36328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798290252685547 × 217)
    floor (0.798290252685547 × 131072)
    floor (104633.5)     		ty = 104633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36328 / 104633 ti = "17/36328/104633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36328/104633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36328 ÷ 217
    36328 ÷ 131072     		x = 0.27716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104633 ÷ 217
    104633 ÷ 131072     		y = 0.798286437988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.4456787109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40014096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798286437988281 × 2 - 1) × π
    -0.596572875976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.87418896444534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40014096} λ = -1.40014096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87418896444534))-π/2
    2×atan(0.153479393625975)-π/2
    2×0.152291028446004-π/2
    0.304582056892009-1.57079632675     		φ = -1.26621427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40014096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.222168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26621427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.548734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36328 KachelY 104633 -1.40014096 -1.26621427 -80.222168 -72.548734
    Oben rechts KachelX + 1 36329 KachelY 104633 -1.40009303 -1.26621427 -80.219422 -72.548734
    Unten links KachelX 36328 KachelY + 1 104634 -1.40014096 -1.26622865 -80.222168 -72.549558
    Unten rechts KachelX + 1 36329 KachelY + 1 104634 -1.40009303 -1.26622865 -80.219422 -72.549558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26621427--1.26622865) × R
    1.43799999998695e-05 × 6371000     		dl = 91.6149799991686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26621427--1.26622865) × R
    1.43799999998695e-05 × 6371000     		dr = 91.6149799991686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40014096--1.40009303) × cos(-1.26621427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.29989449514125 × 6371000     		do = 91.5763918222132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40014096--1.40009303) × cos(-1.26622865) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.299880776987495 × 6371000     		du = 91.5722028189347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26621427)-sin(-1.26622865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29989449514125-0.299880776987495)×R²
    abs(-1.40009303--1.40014096)×1.37181537550601e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.37181537550601e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.37181537550601e-05×40589641000000     		ar = 8389.57741777701m²