Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36327 / 105204
↖ ↑ ↗
← S 73.012965°
W 80.224914°		 ← 89.23 m → S 73.012965°
W 80.222168°		 →
↑
89.19 m
↓
↑
89.19 m
↓
S 73.013767°
W 80.224914°		 ← 89.23 m →
7 959 m²		 S 73.013767°
W 80.222168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277156829833984 y=0.802646636962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277156829833984 × 217)
    floor (0.277156829833984 × 131072)
    floor (36327.5)     		tx = 36327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802646636962891 × 217)
    floor (0.802646636962891 × 131072)
    floor (105204.5)     		ty = 105204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36327 / 105204 ti = "17/36327/105204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36327/105204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36327 ÷ 217
    36327 ÷ 131072     		x = 0.277153015136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105204 ÷ 217
    105204 ÷ 131072     		y = 0.802642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277153015136719 × 2 - 1) × π
    -0.445693969726562 × 3.1415926535     		Λ = -1.40018890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.60528564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90156093412839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40018890} λ = -1.40018890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90156093412839))-π/2
    2×atan(0.149335334578703)-π/2
    2×0.148239844780361-π/2
    0.296479689560723-1.57079632675     		φ = -1.27431664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40018890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.224914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27431664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.012965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36327 KachelY 105204 -1.40018890 -1.27431664 -80.224914 -73.012965
    Oben rechts KachelX + 1 36328 KachelY 105204 -1.40014096 -1.27431664 -80.222168 -73.012965
    Unten links KachelX 36327 KachelY + 1 105205 -1.40018890 -1.27433064 -80.224914 -73.013767
    Unten rechts KachelX + 1 36328 KachelY + 1 105205 -1.40014096 -1.27433064 -80.222168 -73.013767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27431664--1.27433064) × R
    1.40000000001805e-05 × 6371000     		dl = 89.1940000011502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27431664--1.27433064) × R
    1.40000000001805e-05 × 6371000     		dr = 89.1940000011502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40018890--1.40014096) × cos(-1.27431664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292155298818864 × 6371000     		do = 89.2317483366141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40018890--1.40014096) × cos(-1.27433064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292141909597757 × 6371000     		du = 89.2276589238496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27431664)-sin(-1.27433064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292155298818864-0.292141909597757)×R²
    abs(-1.40014096--1.40018890)×1.33892211065523e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33892211065523e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33892211065523e-05×40589641000000     		ar = 7958.7541857284m²