Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36326 / 105191
↖ ↑ ↗
← S 73.002531°
W 80.227661°		 ← 89.28 m → S 73.002531°
W 80.224914°		 →
↑
89.26 m
↓
↑
89.26 m
↓
S 73.003333°
W 80.227661°		 ← 89.28 m →
7 969 m²		 S 73.003333°
W 80.224914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277149200439453 y=0.802547454833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277149200439453 × 217)
    floor (0.277149200439453 × 131072)
    floor (36326.5)     		tx = 36326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802547454833984 × 217)
    floor (0.802547454833984 × 131072)
    floor (105191.5)     		ty = 105191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36326 / 105191 ti = "17/36326/105191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36326/105191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36326 ÷ 217
    36326 ÷ 131072     		x = 0.277145385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105191 ÷ 217
    105191 ÷ 131072     		y = 0.802543640136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277145385742188 × 2 - 1) × π
    -0.445709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40023684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802543640136719 × 2 - 1) × π
    -0.605087280273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.90093775443333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40023684} λ = -1.40023684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90093775443333))-π/2
    2×atan(0.149428426330399)-π/2
    2×0.148330904538396-π/2
    0.296661809076792-1.57079632675     		φ = -1.27413452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40023684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.227661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27413452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.002531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36326 KachelY 105191 -1.40023684 -1.27413452 -80.227661 -73.002531
    Oben rechts KachelX + 1 36327 KachelY 105191 -1.40018890 -1.27413452 -80.224914 -73.002531
    Unten links KachelX 36326 KachelY + 1 105192 -1.40023684 -1.27414853 -80.227661 -73.003333
    Unten rechts KachelX + 1 36327 KachelY + 1 105192 -1.40018890 -1.27414853 -80.224914 -73.003333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27413452--1.27414853) × R
    1.40099999998977e-05 × 6371000     		dl = 89.2577099993484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27413452--1.27414853) × R
    1.40099999998977e-05 × 6371000     		dr = 89.2577099993484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40023684--1.40018890) × cos(-1.27413452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292329468239532 × 6371000     		do = 89.284944160807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40023684--1.40018890) × cos(-1.27414853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292316070200316 × 6371000     		du = 89.2808520547648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27413452)-sin(-1.27414853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292329468239532-0.292316070200316)×R²
    abs(-1.40018890--1.40023684)×1.33980392164057e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33980392164057e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33980392164057e-05×40589641000000     		ar = 7969.18702744752m²