Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36326 / 104635
↖ ↑ ↗
← S 72.550381°
W 80.227661°		 ← 91.59 m → S 72.550381°
W 80.224914°		 →
↑
91.55 m
↓
↑
91.55 m
↓
S 72.551204°
W 80.227661°		 ← 91.58 m →
8 385 m²		 S 72.551204°
W 80.224914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277149200439453 y=0.798305511474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277149200439453 × 217)
    floor (0.277149200439453 × 131072)
    floor (36326.5)     		tx = 36326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798305511474609 × 217)
    floor (0.798305511474609 × 131072)
    floor (104635.5)     		ty = 104635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36326 / 104635 ti = "17/36326/104635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36326/104635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36326 ÷ 217
    36326 ÷ 131072     		x = 0.277145385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104635 ÷ 217
    104635 ÷ 131072     		y = 0.798301696777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277145385742188 × 2 - 1) × π
    -0.445709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40023684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798301696777344 × 2 - 1) × π
    -0.596603393554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.87428483824458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40023684} λ = -1.40023684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87428483824458))-π/2
    2×atan(0.153464679678756)-π/2
    2×0.152276653091094-π/2
    0.304553306182187-1.57079632675     		φ = -1.26624302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40023684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.227661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26624302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.550381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36326 KachelY 104635 -1.40023684 -1.26624302 -80.227661 -72.550381
    Oben rechts KachelX + 1 36327 KachelY 104635 -1.40018890 -1.26624302 -80.224914 -72.550381
    Unten links KachelX 36326 KachelY + 1 104636 -1.40023684 -1.26625739 -80.227661 -72.551204
    Unten rechts KachelX + 1 36327 KachelY + 1 104636 -1.40018890 -1.26625739 -80.224914 -72.551204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26624302--1.26625739) × R
    1.43699999999303e-05 × 6371000     		dl = 91.5512699995558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26624302--1.26625739) × R
    1.43699999999303e-05 × 6371000     		dr = 91.5512699995558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40023684--1.40018890) × cos(-1.26624302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.299867068311539 × 6371000     		do = 91.5871212406222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40023684--1.40018890) × cos(-1.26625739) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.299853359573661 × 6371000     		du = 91.5829342392115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26624302)-sin(-1.26625739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299867068311539-0.299853359573661)×R²
    abs(-1.40018890--1.40023684)×1.3708737877427e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3708737877427e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3708737877427e-05×40589641000000     		ar = 8384.72560277828m²