Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36325 / 27658
↖ ↑ ↗
← N 27.010196°
E 19.539184°		 ← 544.22 m → N 27.010196°
E 19.544678°		 →
↑
544.21 m
↓
↑
544.21 m
↓
N 27.005302°
E 19.539184°		 ← 544.25 m →
296 179 m²		 N 27.005302°
E 19.544678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554283142089844 y=0.422035217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554283142089844 × 216)
    floor (0.554283142089844 × 65536)
    floor (36325.5)     		tx = 36325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422035217285156 × 216)
    floor (0.422035217285156 × 65536)
    floor (27658.5)     		ty = 27658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36325 / 27658 ti = "16/36325/27658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36325/27658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36325 ÷ 216
    36325 ÷ 65536     		x = 0.554275512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27658 ÷ 216
    27658 ÷ 65536     		y = 0.422027587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554275512695312 × 2 - 1) × π
    0.108551025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.34102310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422027587890625 × 2 - 1) × π
    0.15594482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.489915114116974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34102310} λ = 0.34102310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489915114116974))-π/2
    2×atan(1.63217766523242)-π/2
    2×1.02110659306503-π/2
    2.04221318613005-1.57079632675     		φ = 0.47141686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34102310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.539184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47141686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.010196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36325 KachelY 27658 0.34102310 0.47141686 19.539184 27.010196
    Oben rechts KachelX + 1 36326 KachelY 27658 0.34111898 0.47141686 19.544678 27.010196
    Unten links KachelX 36325 KachelY + 1 27659 0.34102310 0.47133144 19.539184 27.005302
    Unten rechts KachelX + 1 36326 KachelY + 1 27659 0.34111898 0.47133144 19.544678 27.005302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47141686-0.47133144) × R
    8.54200000000027e-05 × 6371000     		dl = 544.210820000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47141686-0.47133144) × R
    8.54200000000027e-05 × 6371000     		dr = 544.210820000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34102310-0.34111898) × cos(0.47141686) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.890925717039651 × 6371000     		do = 544.22329282369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34102310-0.34111898) × cos(0.47133144) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.890964507201769 × 6371000     		du = 544.246987851629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47141686)-sin(0.47133144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890925717039651-0.890964507201769)×R²
    abs(0.34111898-0.34102310)×3.87901621178299e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.87901621178299e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.87901621178299e-05×40589641000000     		ar = 296178.652176056m²