Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36325 / 102562
↖ ↑ ↗
← S 70.759776°
W 80.230407°		 ← 100.63 m → S 70.759776°
W 80.227661°		 →
↑
100.60 m
↓
↑
100.60 m
↓
S 70.760681°
W 80.230407°		 ← 100.62 m →
10 123 m²		 S 70.760681°
W 80.227661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277141571044922 y=0.782489776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277141571044922 × 217)
    floor (0.277141571044922 × 131072)
    floor (36325.5)     		tx = 36325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782489776611328 × 217)
    floor (0.782489776611328 × 131072)
    floor (102562.5)     		ty = 102562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36325 / 102562 ti = "17/36325/102562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36325/102562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36325 ÷ 217
    36325 ÷ 131072     		x = 0.277137756347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102562 ÷ 217
    102562 ÷ 131072     		y = 0.782485961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277137756347656 × 2 - 1) × π
    -0.445724487304688 × 3.1415926535     		Λ = -1.40028477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782485961914062 × 2 - 1) × π
    -0.564971923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7749116453322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40028477} λ = -1.40028477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7749116453322))-π/2
    2×atan(0.169498424814908)-π/2
    2×0.167902629967324-π/2
    0.335805259934647-1.57079632675     		φ = -1.23499107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40028477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.230407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23499107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.759776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36325 KachelY 102562 -1.40028477 -1.23499107 -80.230407 -70.759776
    Oben rechts KachelX + 1 36326 KachelY 102562 -1.40023684 -1.23499107 -80.227661 -70.759776
    Unten links KachelX 36325 KachelY + 1 102563 -1.40028477 -1.23500686 -80.230407 -70.760681
    Unten rechts KachelX + 1 36326 KachelY + 1 102563 -1.40023684 -1.23500686 -80.227661 -70.760681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23499107--1.23500686) × R
    1.578999999996e-05 × 6371000     		dl = 100.598089999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23499107--1.23500686) × R
    1.578999999996e-05 × 6371000     		dr = 100.598089999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40028477--1.40023684) × cos(-1.23499107) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329529556017428 × 6371000     		do = 100.625814170542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40028477--1.40023684) × cos(-1.23500686) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329514647922695 × 6371000     		du = 100.621261804471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23499107)-sin(-1.23500686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329529556017428-0.329514647922695)×R²
    abs(-1.40023684--1.40028477)×1.49080947323132e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49080947323132e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49080947323132e-05×40589641000000     		ar = 10122.5357308023m²