Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36324 / 38564
↖ ↑ ↗
← S 30.315988°
E 19.533691°		 ← 527.27 m → S 30.315988°
E 19.539184°		 →
↑
527.26 m
↓
↑
527.26 m
↓
S 30.320729°
E 19.533691°		 ← 527.24 m →
278 001 m²		 S 30.320729°
E 19.539184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554267883300781 y=0.588447570800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554267883300781 × 216)
    floor (0.554267883300781 × 65536)
    floor (36324.5)     		tx = 36324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588447570800781 × 216)
    floor (0.588447570800781 × 65536)
    floor (38564.5)     		ty = 38564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36324 / 38564 ti = "16/36324/38564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36324/38564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36324 ÷ 216
    36324 ÷ 65536     		x = 0.55426025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38564 ÷ 216
    38564 ÷ 65536     		y = 0.58843994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55426025390625 × 2 - 1) × π
    0.1085205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34092723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58843994140625 × 2 - 1) × π
    -0.1768798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.555684540395691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34092723} λ = 0.34092723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.555684540395691))-π/2
    2×atan(0.57367942001677)-π/2
    2×0.520841262562804-π/2
    1.04168252512561-1.57079632675     		φ = -0.52911380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34092723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.533691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52911380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.315988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36324 KachelY 38564 0.34092723 -0.52911380 19.533691 -30.315988
    Oben rechts KachelX + 1 36325 KachelY 38564 0.34102310 -0.52911380 19.539184 -30.315988
    Unten links KachelX 36324 KachelY + 1 38565 0.34092723 -0.52919656 19.533691 -30.320729
    Unten rechts KachelX + 1 36325 KachelY + 1 38565 0.34102310 -0.52919656 19.539184 -30.320729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52911380--0.52919656) × R
    8.27600000000706e-05 × 6371000     		dl = 527.26396000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52911380--0.52919656) × R
    8.27600000000706e-05 × 6371000     		dr = 527.26396000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34092723-0.34102310) × cos(-0.52911380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.863254735300163 × 6371000     		do = 527.265434715915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34092723-0.34102310) × cos(-0.52919656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.863212957700923 × 6371000     		du = 527.23991746924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52911380)-sin(-0.52919656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863254735300163-0.863212957700923)×R²
    abs(0.34102310-0.34092723)×4.1777599239512e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.1777599239512e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.1777599239512e-05×40589641000000     		ar = 278001.334075799m²