Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36324 / 105133
↖ ↑ ↗
← S 72.955900°
W 80.233154°		 ← 89.52 m → S 72.955900°
W 80.230407°		 →
↑
89.51 m
↓
↑
89.51 m
↓
S 72.956705°
W 80.233154°		 ← 89.52 m →
8 013 m²		 S 72.956705°
W 80.230407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277133941650391 y=0.802104949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277133941650391 × 217)
    floor (0.277133941650391 × 131072)
    floor (36324.5)     		tx = 36324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802104949951172 × 217)
    floor (0.802104949951172 × 131072)
    floor (105133.5)     		ty = 105133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36324 / 105133 ti = "17/36324/105133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36324/105133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36324 ÷ 217
    36324 ÷ 131072     		x = 0.277130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105133 ÷ 217
    105133 ÷ 131072     		y = 0.802101135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.44573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40033271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802101135253906 × 2 - 1) × π
    -0.604202270507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.89815741425536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40033271} λ = -1.40033271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89815741425536))-π/2
    2×atan(0.149844466286149)-π/2
    2×0.148737832928328-π/2
    0.297475665856655-1.57079632675     		φ = -1.27332066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40033271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.233154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27332066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.955900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36324 KachelY 105133 -1.40033271 -1.27332066 -80.233154 -72.955900
    Oben rechts KachelX + 1 36325 KachelY 105133 -1.40028477 -1.27332066 -80.230407 -72.955900
    Unten links KachelX 36324 KachelY + 1 105134 -1.40033271 -1.27333471 -80.233154 -72.956705
    Unten rechts KachelX + 1 36325 KachelY + 1 105134 -1.40028477 -1.27333471 -80.230407 -72.956705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27332066--1.27333471) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dl = 89.5125500006288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27332066--1.27333471) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dr = 89.5125500006288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40033271--1.40028477) × cos(-1.27332066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293107680035982 × 6371000     		do = 89.5226300746144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40033271--1.40028477) × cos(-1.27333471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293094247090977 × 6371000     		du = 89.5185273074458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27332066)-sin(-1.27333471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293107680035982-0.293094247090977)×R²
    abs(-1.40028477--1.40033271)×1.34329450052206e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34329450052206e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34329450052206e-05×40589641000000     		ar = 8013.21527631534m²