Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36323 / 102629
↖ ↑ ↗
← S 70.820325°
W 80.235901°		 ← 100.34 m → S 70.820325°
W 80.233154°		 →
↑
100.34 m
↓
↑
100.34 m
↓
S 70.821227°
W 80.235901°		 ← 100.34 m →
10 068 m²		 S 70.821227°
W 80.233154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277126312255859 y=0.783000946044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277126312255859 × 217)
    floor (0.277126312255859 × 131072)
    floor (36323.5)     		tx = 36323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783000946044922 × 217)
    floor (0.783000946044922 × 131072)
    floor (102629.5)     		ty = 102629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36323 / 102629 ti = "17/36323/102629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36323/102629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36323 ÷ 217
    36323 ÷ 131072     		x = 0.277122497558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102629 ÷ 217
    102629 ÷ 131072     		y = 0.782997131347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277122497558594 × 2 - 1) × π
    -0.445755004882812 × 3.1415926535     		Λ = -1.40038065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782997131347656 × 2 - 1) × π
    -0.565994262695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.77812341760674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40038065} λ = -1.40038065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77812341760674))-π/2
    2×atan(0.168954907767221)-π/2
    2×0.167374244652609-π/2
    0.334748489305218-1.57079632675     		φ = -1.23604784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40038065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.235901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23604784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.820325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36323 KachelY 102629 -1.40038065 -1.23604784 -80.235901 -70.820325
    Oben rechts KachelX + 1 36324 KachelY 102629 -1.40033271 -1.23604784 -80.233154 -70.820325
    Unten links KachelX 36323 KachelY + 1 102630 -1.40038065 -1.23606359 -80.235901 -70.821227
    Unten rechts KachelX + 1 36324 KachelY + 1 102630 -1.40033271 -1.23606359 -80.233154 -70.821227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23604784--1.23606359) × R
    1.57500000002031e-05 × 6371000     		dl = 100.343250001294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23604784--1.23606359) × R
    1.57500000002031e-05 × 6371000     		dr = 100.343250001294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40038065--1.40033271) × cos(-1.23604784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328531627813712 × 6371000     		do = 100.342015538342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40038065--1.40033271) × cos(-1.23606359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328516752008694 × 6371000     		du = 100.337472084586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23604784)-sin(-1.23606359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328531627813712-0.328516752008694)×R²
    abs(-1.40033271--1.40038065)×1.4875805018133e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4875805018133e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4875805018133e-05×40589641000000     		ar = 10068.4159984499m²