Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36322 / 102616
↖ ↑ ↗
← S 70.808590°
W 80.238648°		 ← 100.40 m → S 70.808590°
W 80.235901°		 →
↑
100.41 m
↓
↑
100.41 m
↓
S 70.809493°
W 80.238648°		 ← 100.40 m →
10 081 m²		 S 70.809493°
W 80.235901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277118682861328 y=0.782901763916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277118682861328 × 217)
    floor (0.277118682861328 × 131072)
    floor (36322.5)     		tx = 36322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782901763916016 × 217)
    floor (0.782901763916016 × 131072)
    floor (102616.5)     		ty = 102616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36322 / 102616 ti = "17/36322/102616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36322/102616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36322 ÷ 217
    36322 ÷ 131072     		x = 0.277114868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102616 ÷ 217
    102616 ÷ 131072     		y = 0.78289794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277114868164062 × 2 - 1) × π
    -0.445770263671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40042859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78289794921875 × 2 - 1) × π
    -0.5657958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77750023791168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40042859} λ = -1.40042859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77750023791168))-π/2
    2×atan(0.169060229849005)-π/2
    2×0.167476641904436-π/2
    0.334953283808871-1.57079632675     		φ = -1.23584304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40042859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.238648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23584304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.808590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36322 KachelY 102616 -1.40042859 -1.23584304 -80.238648 -70.808590
    Oben rechts KachelX + 1 36323 KachelY 102616 -1.40038065 -1.23584304 -80.235901 -70.808590
    Unten links KachelX 36322 KachelY + 1 102617 -1.40042859 -1.23585880 -80.238648 -70.809493
    Unten rechts KachelX + 1 36323 KachelY + 1 102617 -1.40038065 -1.23585880 -80.235901 -70.809493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23584304--1.23585880) × R
    1.57599999999203e-05 × 6371000     		dl = 100.406959999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23584304--1.23585880) × R
    1.57599999999203e-05 × 6371000     		dr = 100.406959999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40042859--1.40038065) × cos(-1.23584304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328725053082716 × 6371000     		do = 100.401092594262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40042859--1.40038065) × cos(-1.23585880) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328710168893389 × 6371000     		du = 100.396546579723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23584304)-sin(-1.23585880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328725053082716-0.328710168893389)×R²
    abs(-1.40038065--1.40042859)×1.48841893267138e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48841893267138e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48841893267138e-05×40589641000000     		ar = 10080.740262444m²