Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36321 / 28125
↖ ↑ ↗
← N 71.105211°
W 80.241394°		 ← 98.89 m → N 71.105211°
W 80.238648°		 →
↑
98.88 m
↓
↑
98.88 m
↓
N 71.104322°
W 80.241394°		 ← 98.89 m →
9 778 m²		 N 71.104322°
W 80.238648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277111053466797 y=0.214580535888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277111053466797 × 217)
    floor (0.277111053466797 × 131072)
    floor (36321.5)     		tx = 36321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214580535888672 × 217)
    floor (0.214580535888672 × 131072)
    floor (28125.5)     		ty = 28125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36321 / 28125 ti = "17/36321/28125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36321/28125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36321 ÷ 217
    36321 ÷ 131072     		x = 0.277107238769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28125 ÷ 217
    28125 ÷ 131072     		y = 0.214576721191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277107238769531 × 2 - 1) × π
    -0.445785522460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.40047652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214576721191406 × 2 - 1) × π
    0.570846557617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.79336735168592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40047652} λ = -1.40047652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79336735168592))-π/2
    2×atan(6.0096550547637)-π/2
    2×1.40590818887774-π/2
    2.81181637775549-1.57079632675     		φ = 1.24102005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40047652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.241394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24102005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.105211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36321 KachelY 28125 -1.40047652 1.24102005 -80.241394 71.105211
    Oben rechts KachelX + 1 36322 KachelY 28125 -1.40042859 1.24102005 -80.238648 71.105211
    Unten links KachelX 36321 KachelY + 1 28126 -1.40047652 1.24100453 -80.241394 71.104322
    Unten rechts KachelX + 1 36322 KachelY + 1 28126 -1.40042859 1.24100453 -80.238648 71.104322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24102005-1.24100453) × R
    1.55199999998246e-05 × 6371000     		dl = 98.8779199988823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24102005-1.24100453) × R
    1.55199999998246e-05 × 6371000     		dr = 98.8779199988823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40047652--1.40042859) × cos(1.24102005) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323831368661864 × 6371000     		do = 98.8858041123256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40047652--1.40042859) × cos(1.24100453) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323846052324804 × 6371000     		du = 98.8902879454488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24102005)-sin(1.24100453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323831368661864-0.323846052324804)×R²
    abs(-1.40042859--1.40047652)×1.46836629397185e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46836629397185e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46836629397185e-05×40589641000000     		ar = 9777.84430421796m²