Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36321 / 104993
↖ ↑ ↗
← S 72.842831°
W 80.241394°		 ← 90.08 m → S 72.842831°
W 80.238648°		 →
↑
90.09 m
↓
↑
90.09 m
↓
S 72.843641°
W 80.241394°		 ← 90.08 m →
8 115 m²		 S 72.843641°
W 80.238648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277111053466797 y=0.801036834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277111053466797 × 217)
    floor (0.277111053466797 × 131072)
    floor (36321.5)     		tx = 36321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801036834716797 × 217)
    floor (0.801036834716797 × 131072)
    floor (104993.5)     		ty = 104993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36321 / 104993 ti = "17/36321/104993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36321/104993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36321 ÷ 217
    36321 ÷ 131072     		x = 0.277107238769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104993 ÷ 217
    104993 ÷ 131072     		y = 0.801033020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277107238769531 × 2 - 1) × π
    -0.445785522460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.40047652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801033020019531 × 2 - 1) × π
    -0.602066040039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.89144624830856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40047652} λ = -1.40047652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89144624830856))-π/2
    2×atan(0.150853479405711)-π/2
    2×0.14972454160581-π/2
    0.299449083211621-1.57079632675     		φ = -1.27134724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40047652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.241394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27134724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.842831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36321 KachelY 104993 -1.40047652 -1.27134724 -80.241394 -72.842831
    Oben rechts KachelX + 1 36322 KachelY 104993 -1.40042859 -1.27134724 -80.238648 -72.842831
    Unten links KachelX 36321 KachelY + 1 104994 -1.40047652 -1.27136138 -80.241394 -72.843641
    Unten rechts KachelX + 1 36322 KachelY + 1 104994 -1.40042859 -1.27136138 -80.238648 -72.843641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27134724--1.27136138) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dl = 90.0859399999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27134724--1.27136138) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dr = 90.0859399999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40047652--1.40042859) × cos(-1.27134724) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294993854354804 × 6371000     		do = 90.0799222033624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40047652--1.40042859) × cos(-1.27136138) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294980343567331 × 6371000     		du = 90.0757965218728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27134724)-sin(-1.27136138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294993854354804-0.294980343567331)×R²
    abs(-1.40042859--1.40047652)×1.35107874728035e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35107874728035e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35107874728035e-05×40589641000000     		ar = 8114.7486339138m²