Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36320 / 104929
↖ ↑ ↗
← S 72.790901°
W 80.244141°		 ← 90.36 m → S 72.790901°
W 80.241394°		 →
↑
90.34 m
↓
↑
90.34 m
↓
S 72.791714°
W 80.244141°		 ← 90.36 m →
8 163 m²		 S 72.791714°
W 80.241394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277103424072266 y=0.800548553466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277103424072266 × 217)
    floor (0.277103424072266 × 131072)
    floor (36320.5)     		tx = 36320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800548553466797 × 217)
    floor (0.800548553466797 × 131072)
    floor (104929.5)     		ty = 104929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36320 / 104929 ti = "17/36320/104929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36320/104929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36320 ÷ 217
    36320 ÷ 131072     		x = 0.277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104929 ÷ 217
    104929 ÷ 131072     		y = 0.800544738769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.44580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40052446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800544738769531 × 2 - 1) × π
    -0.601089477539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.88837828673287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40052446} λ = -1.40052446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88837828673287))-π/2
    2×atan(0.151317002756429)-π/2
    2×0.15017772035118-π/2
    0.30035544070236-1.57079632675     		φ = -1.27044089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40052446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.244141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27044089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.790901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36320 KachelY 104929 -1.40052446 -1.27044089 -80.244141 -72.790901
    Oben rechts KachelX + 1 36321 KachelY 104929 -1.40047652 -1.27044089 -80.241394 -72.790901
    Unten links KachelX 36320 KachelY + 1 104930 -1.40052446 -1.27045507 -80.244141 -72.791714
    Unten rechts KachelX + 1 36321 KachelY + 1 104930 -1.40047652 -1.27045507 -80.241394 -72.791714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27044089--1.27045507) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dl = 90.3407799998392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27044089--1.27045507) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dr = 90.3407799998392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40052446--1.40047652) × cos(-1.27044089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295859749726613 × 6371000     		do = 90.3631829964065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40052446--1.40047652) × cos(-1.27045507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295846204515759 × 6371000     		du = 90.3590459403577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27044089)-sin(-1.27045507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295859749726613-0.295846204515759)×R²
    abs(-1.40047652--1.40052446)×1.35452108547263e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35452108547263e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35452108547263e-05×40589641000000     		ar = 8163.29356268872m²