Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36320 / 104928
↖ ↑ ↗
← S 72.790088°
W 80.244141°		 ← 90.37 m → S 72.790088°
W 80.241394°		 →
↑
90.40 m
↓
↑
90.40 m
↓
S 72.790901°
W 80.244141°		 ← 90.36 m →
8 169 m²		 S 72.790901°
W 80.241394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277103424072266 y=0.800540924072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277103424072266 × 217)
    floor (0.277103424072266 × 131072)
    floor (36320.5)     		tx = 36320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800540924072266 × 217)
    floor (0.800540924072266 × 131072)
    floor (104928.5)     		ty = 104928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36320 / 104928 ti = "17/36320/104928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36320/104928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36320 ÷ 217
    36320 ÷ 131072     		x = 0.277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104928 ÷ 217
    104928 ÷ 131072     		y = 0.800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.44580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40052446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.60107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88833034983325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40052446} λ = -1.40052446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88833034983325))-π/2
    2×atan(0.151324256598263)-π/2
    2×0.150184811813192-π/2
    0.300369623626384-1.57079632675     		φ = -1.27042670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40052446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.244141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27042670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.790088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36320 KachelY 104928 -1.40052446 -1.27042670 -80.244141 -72.790088
    Oben rechts KachelX + 1 36321 KachelY 104928 -1.40047652 -1.27042670 -80.241394 -72.790088
    Unten links KachelX 36320 KachelY + 1 104929 -1.40052446 -1.27044089 -80.244141 -72.790901
    Unten rechts KachelX + 1 36321 KachelY + 1 104929 -1.40047652 -1.27044089 -80.241394 -72.790901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27042670--1.27044089) × R
    1.4189999999914e-05 × 6371000     		dl = 90.4044899994521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27042670--1.27044089) × R
    1.4189999999914e-05 × 6371000     		dr = 90.4044899994521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40052446--1.40047652) × cos(-1.27042670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295873304430251 × 6371000     		do = 90.3673229517954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40052446--1.40047652) × cos(-1.27044089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295859749726613 × 6371000     		du = 90.3631829964065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27042670)-sin(-1.27044089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295873304430251-0.295859749726613)×R²
    abs(-1.40047652--1.40052446)×1.35547036373418e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35547036373418e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35547036373418e-05×40589641000000     		ar = 8169.42460913192m²