Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36320 / 103328
↖ ↑ ↗
← S 71.441171°
W 80.244141°		 ← 97.21 m → S 71.441171°
W 80.241394°		 →
↑
97.22 m
↓
↑
97.22 m
↓
S 71.442045°
W 80.244141°		 ← 97.21 m →
9 451 m²		 S 71.442045°
W 80.241394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277103424072266 y=0.788333892822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277103424072266 × 217)
    floor (0.277103424072266 × 131072)
    floor (36320.5)     		tx = 36320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788333892822266 × 217)
    floor (0.788333892822266 × 131072)
    floor (103328.5)     		ty = 103328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36320 / 103328 ti = "17/36320/103328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36320/103328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36320 ÷ 217
    36320 ÷ 131072     		x = 0.277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103328 ÷ 217
    103328 ÷ 131072     		y = 0.788330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.44580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40052446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.57666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81163131044116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40052446} λ = -1.40052446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81163131044116))-π/2
    2×atan(0.163387383738284)-π/2
    2×0.161956336984497-π/2
    0.323912673968995-1.57079632675     		φ = -1.24688365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40052446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.244141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24688365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.441171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36320 KachelY 103328 -1.40052446 -1.24688365 -80.244141 -71.441171
    Oben rechts KachelX + 1 36321 KachelY 103328 -1.40047652 -1.24688365 -80.241394 -71.441171
    Unten links KachelX 36320 KachelY + 1 103329 -1.40052446 -1.24689891 -80.244141 -71.442045
    Unten rechts KachelX + 1 36321 KachelY + 1 103329 -1.40047652 -1.24689891 -80.241394 -71.442045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24688365--1.24689891) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dl = 97.2214600004615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24688365--1.24689891) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dr = 97.2214600004615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40052446--1.40047652) × cos(-1.24688365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318278194680013 × 6371000     		do = 97.2103531359432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40052446--1.40047652) × cos(-1.24689891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.318263728203272 × 6371000     		du = 97.2059347015794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24688365)-sin(-1.24689891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318278194680013-0.318263728203272)×R²
    abs(-1.40047652--1.40052446)×1.44664767410818e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44664767410818e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44664767410818e-05×40589641000000     		ar = 9450.71767591284m²