Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3632 / 2544
↖ ↑ ↗
← N 76.920614°
W100.195313°		 ← 552.92 m → N 76.920614°
W100.173340°		 →
↑
553 m
↓
↑
553 m
↓
N 76.915640°
W100.195313°		 ← 553.12 m →
305 821 m²		 N 76.915640°
W100.173340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221710205078125 y=0.155303955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221710205078125 × 214)
    floor (0.221710205078125 × 16384)
    floor (3632.5)     		tx = 3632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155303955078125 × 214)
    floor (0.155303955078125 × 16384)
    floor (2544.5)     		ty = 2544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3632 / 2544 ti = "14/3632/2544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3632/2544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3632 ÷ 214
    3632 ÷ 16384     		x = 0.2216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2544 ÷ 214
    2544 ÷ 16384     		y = 0.1552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2216796875 × 2 - 1) × π
    -0.556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74873810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1552734375 × 2 - 1) × π
    0.689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16598087243262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74873810} λ = -1.74873810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16598087243262))-π/2
    2×atan(8.72315402320972)-π/2
    2×1.45665714766461-π/2
    2.91331429532923-1.57079632675     		φ = 1.34251797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74873810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.195313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34251797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.920614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3632 KachelY 2544 -1.74873810 1.34251797 -100.195313 76.920614
    Oben rechts KachelX + 1 3633 KachelY 2544 -1.74835460 1.34251797 -100.173340 76.920614
    Unten links KachelX 3632 KachelY + 1 2545 -1.74873810 1.34243117 -100.195313 76.915640
    Unten rechts KachelX + 1 3633 KachelY + 1 2545 -1.74835460 1.34243117 -100.173340 76.915640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34251797-1.34243117) × R
    8.68000000000535e-05 × 6371000     		dl = 553.002800000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34251797-1.34243117) × R
    8.68000000000535e-05 × 6371000     		dr = 553.002800000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74873810--1.74835460) × cos(1.34251797) × R
    0.00038349999999987 × 0.226300880361387 × 6371000     		do = 552.916075517863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74873810--1.74835460) × cos(1.34243117) × R
    0.00038349999999987 × 0.226385427695245 × 6371000     		du = 553.122648200909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34251797)-sin(1.34243117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226300880361387-0.226385427695245)×R²
    abs(-1.74835460--1.74873810)×8.45473338573766e-05×R²
    0.00038349999999987×8.45473338573766e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.45473338573766e-05×40589641000000     		ar = 305821.255754858m²