Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3632 / 2399
↖ ↑ ↗
← N 59.556592°
W 20.390625°		 ← 2 475.92 m → N 59.556592°
W 20.346680°		 →
↑
2 476.73 m
↓
↑
2 476.73 m
↓
N 59.534318°
W 20.390625°		 ← 2 477.56 m →
6 134 211 m²		 N 59.534318°
W 20.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44342041015625 y=0.29290771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44342041015625 × 213)
    floor (0.44342041015625 × 8192)
    floor (3632.5)     		tx = 3632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29290771484375 × 213)
    floor (0.29290771484375 × 8192)
    floor (2399.5)     		ty = 2399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3632 / 2399 ti = "13/3632/2399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3632/2399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3632 ÷ 213
    3632 ÷ 8192     		x = 0.443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2399 ÷ 213
    2399 ÷ 8192     		y = 0.2928466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443359375 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2928466796875 × 2 - 1) × π
    0.414306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30158269848376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35588354} λ = -0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30158269848376))-π/2
    2×atan(3.67510865599094)-π/2
    2×1.30512747322387-π/2
    2.61025494644773-1.57079632675     		φ = 1.03945862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03945862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.556592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3632 KachelY 2399 -0.35588354 1.03945862 -20.390625 59.556592
    Oben rechts KachelX + 1 3633 KachelY 2399 -0.35511655 1.03945862 -20.346680 59.556592
    Unten links KachelX 3632 KachelY + 1 2400 -0.35588354 1.03906987 -20.390625 59.534318
    Unten rechts KachelX + 1 3633 KachelY + 1 2400 -0.35511655 1.03906987 -20.346680 59.534318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03945862-1.03906987) × R
    0.000388749999999938 × 6371000     		dl = 2476.7262499996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03945862-1.03906987) × R
    0.000388749999999938 × 6371000     		dr = 2476.7262499996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35588354--0.35511655) × cos(1.03945862) × R
    0.000766990000000023 × 0.506687071425887 × 6371000     		do = 2475.92297465242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35588354--0.35511655) × cos(1.03906987) × R
    0.000766990000000023 × 0.507022186184862 × 6371000     		du = 2477.56051067353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03945862)-sin(1.03906987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506687071425887-0.507022186184862)×R²
    abs(-0.35511655--0.35588354)×0.000335114758974075×R²
    0.000766990000000023×0.000335114758974075×6371000²
    0.000766990000000023×0.000335114758974075×40589641000000     		ar = 6134211.36577936m²