Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3632 / 2383
↖ ↑ ↗
← N 59.910976°
W 20.390625°		 ← 2 449.82 m → N 59.910976°
W 20.346680°		 →
↑
2 450.67 m
↓
↑
2 450.67 m
↓
N 59.888937°
W 20.390625°		 ← 2 451.45 m →
6 005 688 m²		 N 59.888937°
W 20.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44342041015625 y=0.29095458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44342041015625 × 213)
    floor (0.44342041015625 × 8192)
    floor (3632.5)     		tx = 3632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29095458984375 × 213)
    floor (0.29095458984375 × 8192)
    floor (2383.5)     		ty = 2383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3632 / 2383 ti = "13/3632/2383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3632/2383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3632 ÷ 213
    3632 ÷ 8192     		x = 0.443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2383 ÷ 213
    2383 ÷ 8192     		y = 0.2908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443359375 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2908935546875 × 2 - 1) × π
    0.418212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.3138545447865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35588354} λ = -0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3138545447865))-π/2
    2×atan(3.72048689244607)-π/2
    2×1.30822005777484-π/2
    2.61644011554968-1.57079632675     		φ = 1.04564379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04564379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.910976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3632 KachelY 2383 -0.35588354 1.04564379 -20.390625 59.910976
    Oben rechts KachelX + 1 3633 KachelY 2383 -0.35511655 1.04564379 -20.346680 59.910976
    Unten links KachelX 3632 KachelY + 1 2384 -0.35588354 1.04525913 -20.390625 59.888937
    Unten rechts KachelX + 1 3633 KachelY + 1 2384 -0.35511655 1.04525913 -20.346680 59.888937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04564379-1.04525913) × R
    0.000384659999999926 × 6371000     		dl = 2450.66885999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04564379-1.04525913) × R
    0.000384659999999926 × 6371000     		dr = 2450.66885999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35588354--0.35511655) × cos(1.04564379) × R
    0.000766990000000023 × 0.501344992582908 × 6371000     		do = 2449.81894223155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35588354--0.35511655) × cos(1.04525913) × R
    0.000766990000000023 × 0.501677781579305 × 6371000     		du = 2451.44511342943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04564379)-sin(1.04525913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501344992582908-0.501677781579305)×R²
    abs(-0.35511655--0.35588354)×0.000332788996396882×R²
    0.000766990000000023×0.000332788996396882×6371000²
    0.000766990000000023×0.000332788996396882×40589641000000     		ar = 6005687.67197214m²