Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36315 / 105255
↖ ↑ ↗
← S 73.053841°
W 80.257873°		 ← 89 m → S 73.053841°
W 80.255127°		 →
↑
89 m
↓
↑
89 m
↓
S 73.054642°
W 80.257873°		 ← 89 m →
7 921 m²		 S 73.054642°
W 80.255127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277065277099609 y=0.803035736083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277065277099609 × 217)
    floor (0.277065277099609 × 131072)
    floor (36315.5)     		tx = 36315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803035736083984 × 217)
    floor (0.803035736083984 × 131072)
    floor (105255.5)     		ty = 105255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36315 / 105255 ti = "17/36315/105255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36315/105255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36315 ÷ 217
    36315 ÷ 131072     		x = 0.277061462402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105255 ÷ 217
    105255 ÷ 131072     		y = 0.803031921386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277061462402344 × 2 - 1) × π
    -0.445877075195312 × 3.1415926535     		Λ = -1.40076414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803031921386719 × 2 - 1) × π
    -0.606063842773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.90400571600901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40076414} λ = -1.40076414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90400571600901))-π/2
    2×atan(0.148970688180664)-π/2
    2×0.147883133995499-π/2
    0.295766267990998-1.57079632675     		φ = -1.27503006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40076414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.257873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27503006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.053841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36315 KachelY 105255 -1.40076414 -1.27503006 -80.257873 -73.053841
    Oben rechts KachelX + 1 36316 KachelY 105255 -1.40071621 -1.27503006 -80.255127 -73.053841
    Unten links KachelX 36315 KachelY + 1 105256 -1.40076414 -1.27504403 -80.257873 -73.054642
    Unten rechts KachelX + 1 36316 KachelY + 1 105256 -1.40071621 -1.27504403 -80.255127 -73.054642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27503006--1.27504403) × R
    1.39700000001408e-05 × 6371000     		dl = 89.0028700008971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27503006--1.27504403) × R
    1.39700000001408e-05 × 6371000     		dr = 89.0028700008971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40076414--1.40071621) × cos(-1.27503006) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291472930406742 × 6371000     		do = 89.004765719106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40076414--1.40071621) × cos(-1.27504403) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291459566968593 × 6371000     		du = 89.0006850325049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27503006)-sin(-1.27504403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291472930406742-0.291459566968593)×R²
    abs(-1.40071621--1.40076414)×1.33634381495606e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33634381495606e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33634381495606e-05×40589641000000     		ar = 7921.49799645748m²