Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36314 / 104606
↖ ↑ ↗
← S 72.526481°
W 80.260620°		 ← 91.71 m → S 72.526481°
W 80.257873°		 →
↑
91.68 m
↓
↑
91.68 m
↓
S 72.527305°
W 80.260620°		 ← 91.70 m →
8 408 m²		 S 72.527305°
W 80.257873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277057647705078 y=0.798084259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277057647705078 × 217)
    floor (0.277057647705078 × 131072)
    floor (36314.5)     		tx = 36314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798084259033203 × 217)
    floor (0.798084259033203 × 131072)
    floor (104606.5)     		ty = 104606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36314 / 104606 ti = "17/36314/104606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36314/104606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36314 ÷ 217
    36314 ÷ 131072     		x = 0.277053833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104606 ÷ 217
    104606 ÷ 131072     		y = 0.798080444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277053833007812 × 2 - 1) × π
    -0.445892333984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40081208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798080444335938 × 2 - 1) × π
    -0.596160888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.87289466815559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40081208} λ = -1.40081208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87289466815559))-π/2
    2×atan(0.153678170045739)-π/2
    2×0.152485224471843-π/2
    0.304970448943686-1.57079632675     		φ = -1.26582588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40081208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.260620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26582588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.526481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36314 KachelY 104606 -1.40081208 -1.26582588 -80.260620 -72.526481
    Oben rechts KachelX + 1 36315 KachelY 104606 -1.40076414 -1.26582588 -80.257873 -72.526481
    Unten links KachelX 36314 KachelY + 1 104607 -1.40081208 -1.26584027 -80.260620 -72.527305
    Unten rechts KachelX + 1 36315 KachelY + 1 104607 -1.40076414 -1.26584027 -80.257873 -72.527305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26582588--1.26584027) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dl = 91.678690000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26582588--1.26584027) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dr = 91.678690000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40081208--1.40076414) × cos(-1.26582588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300264985843502 × 6371000     		do = 91.7086554972811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40081208--1.40076414) × cos(-1.26584027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300251259827067 × 6371000     		du = 91.7044632185542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26582588)-sin(-1.26584027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300264985843502-0.300251259827067)×R²
    abs(-1.40076414--1.40081208)×1.37260164351227e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37260164351227e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37260164351227e-05×40589641000000     		ar = 8407.53722635471m²