Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36313 / 28131
↖ ↑ ↗
← N 71.099874°
W 80.263367°		 ← 98.93 m → N 71.099874°
W 80.260620°		 →
↑
98.94 m
↓
↑
98.94 m
↓
N 71.098984°
W 80.263367°		 ← 98.94 m →
9 789 m²		 N 71.098984°
W 80.260620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277050018310547 y=0.214626312255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277050018310547 × 217)
    floor (0.277050018310547 × 131072)
    floor (36313.5)     		tx = 36313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214626312255859 × 217)
    floor (0.214626312255859 × 131072)
    floor (28131.5)     		ty = 28131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36313 / 28131 ti = "17/36313/28131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36313/28131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36313 ÷ 217
    36313 ÷ 131072     		x = 0.277046203613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28131 ÷ 217
    28131 ÷ 131072     		y = 0.214622497558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277046203613281 × 2 - 1) × π
    -0.445907592773438 × 3.1415926535     		Λ = -1.40086002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214622497558594 × 2 - 1) × π
    0.570755004882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.7930797302882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40086002} λ = -1.40086002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7930797302882))-π/2
    2×atan(6.00792679793077)-π/2
    2×1.40586161212549-π/2
    2.81172322425098-1.57079632675     		φ = 1.24092690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40086002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.263367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24092690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.099874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36313 KachelY 28131 -1.40086002 1.24092690 -80.263367 71.099874
    Oben rechts KachelX + 1 36314 KachelY 28131 -1.40081208 1.24092690 -80.260620 71.099874
    Unten links KachelX 36313 KachelY + 1 28132 -1.40086002 1.24091137 -80.263367 71.098984
    Unten rechts KachelX + 1 36314 KachelY + 1 28132 -1.40081208 1.24091137 -80.260620 71.098984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24092690-1.24091137) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dl = 98.9416299999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24092690-1.24091137) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dr = 98.9416299999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40086002--1.40081208) × cos(1.24092690) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.323919497851898 × 6371000     		do = 98.9333523322377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40086002--1.40081208) × cos(1.24091137) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.3239341905074 × 6371000     		du = 98.9378398474171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24092690)-sin(1.24091137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323919497851898-0.3239341905074)×R²
    abs(-1.40081208--1.40086002)×1.46926555025795e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.46926555025795e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.46926555025795e-05×40589641000000     		ar = 9788.84914238454m²