Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3631 / 5363
↖ ↑ ↗
← S 48.545706°
W 20.434570°		 ← 3 234.97 m → S 48.545706°
W 20.390625°		 →
↑
3 234.05 m
↓
↑
3 234.05 m
↓
S 48.574790°
W 20.434570°		 ← 3 233.11 m →
10 459 032 m²		 S 48.574790°
W 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44329833984375 y=0.65472412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44329833984375 × 213)
    floor (0.44329833984375 × 8192)
    floor (3631.5)     		tx = 3631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65472412109375 × 213)
    floor (0.65472412109375 × 8192)
    floor (5363.5)     		ty = 5363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3631 / 5363 ti = "13/3631/5363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3631/5363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3631 ÷ 213
    3631 ÷ 8192     		x = 0.4432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5363 ÷ 213
    5363 ÷ 8192     		y = 0.6546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35665053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.309326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.971776829097778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35665053} λ = -0.35665053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971776829097778))-π/2
    2×atan(0.37841007038219)-π/2
    2×0.361756964138527-π/2
    0.723513928277053-1.57079632675     		φ = -0.84728240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35665053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.434570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84728240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.545706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3631 KachelY 5363 -0.35665053 -0.84728240 -20.434570 -48.545706
    Oben rechts KachelX + 1 3632 KachelY 5363 -0.35588354 -0.84728240 -20.390625 -48.545706
    Unten links KachelX 3631 KachelY + 1 5364 -0.35665053 -0.84779002 -20.434570 -48.574790
    Unten rechts KachelX + 1 3632 KachelY + 1 5364 -0.35588354 -0.84779002 -20.390625 -48.574790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84728240--0.84779002) × R
    0.000507620000000042 × 6371000     		dl = 3234.04702000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84728240--0.84779002) × R
    0.000507620000000042 × 6371000     		dr = 3234.04702000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35665053--0.35588354) × cos(-0.84728240) × R
    0.000766990000000023 × 0.662022385899222 × 6371000     		do = 3234.96794652644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35665053--0.35588354) × cos(-0.84779002) × R
    0.000766990000000023 × 0.661641847521221 × 6371000     		du = 3233.10844829575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84728240)-sin(-0.84779002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662022385899222-0.661641847521221)×R²
    abs(-0.35588354--0.35665053)×0.000380538378001116×R²
    0.000766990000000023×0.000380538378001116×6371000²
    0.000766990000000023×0.000380538378001116×40589641000000     		ar = 10459031.8194932m²