Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3631 / 4241
↖ ↑ ↗
← N 78.867928°
W140.108642°		 ← 235.85 m → N 78.867928°
W140.097656°		 →
↑
235.85 m
↓
↑
235.85 m
↓
N 78.865806°
W140.108642°		 ← 235.90 m →
55 632 m²		 N 78.865806°
W140.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.110824584960938 y=0.129440307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.110824584960938 × 215)
    floor (0.110824584960938 × 32768)
    floor (3631.5)     		tx = 3631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129440307617188 × 215)
    floor (0.129440307617188 × 32768)
    floor (4241.5)     		ty = 4241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3631 / 4241 ti = "15/3631/4241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3631/4241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3631 ÷ 215
    3631 ÷ 32768     		x = 0.110809326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4241 ÷ 215
    4241 ÷ 32768     		y = 0.129425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.110809326171875 × 2 - 1) × π
    -0.77838134765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.44535712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129425048828125 × 2 - 1) × π
    0.74114990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32839108834537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.44535712} λ = -2.44535712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32839108834537))-π/2
    2×atan(10.2614185287167)-π/2
    2×1.47365066836392-π/2
    2.94730133672783-1.57079632675     		φ = 1.37650501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.44535712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.108642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37650501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.867928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3631 KachelY 4241 -2.44535712 1.37650501 -140.108642 78.867928
    Oben rechts KachelX + 1 3632 KachelY 4241 -2.44516538 1.37650501 -140.097656 78.867928
    Unten links KachelX 3631 KachelY + 1 4242 -2.44535712 1.37646799 -140.108642 78.865806
    Unten rechts KachelX + 1 3632 KachelY + 1 4242 -2.44516538 1.37646799 -140.097656 78.865806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37650501-1.37646799) × R
    3.70199999999432e-05 × 6371000     		dl = 235.854419999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37650501-1.37646799) × R
    3.70199999999432e-05 × 6371000     		dr = 235.854419999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.44535712--2.44516538) × cos(1.37650501) × R
    0.000191739999999996 × 0.193071234355939 × 6371000     		do = 235.851097366817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.44535712--2.44516538) × cos(1.37646799) × R
    0.000191739999999996 × 0.193107557682789 × 6371000     		du = 235.895469054429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37650501)-sin(1.37646799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193071234355939-0.193107557682789)×R²
    abs(-2.44516538--2.44535712)×3.63233268503294e-05×R²
    0.000191739999999996×3.63233268503294e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.63233268503294e-05×40589641000000     		ar = 55631.7564107825m²