Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3631 / 2542
↖ ↑ ↗
← N 76.930554°
W100.217285°		 ← 552.49 m → N 76.930554°
W100.195313°		 →
↑
552.56 m
↓
↑
552.56 m
↓
N 76.925585°
W100.217285°		 ← 552.70 m →
305 338 m²		 N 76.925585°
W100.195313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221649169921875 y=0.155181884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221649169921875 × 214)
    floor (0.221649169921875 × 16384)
    floor (3631.5)     		tx = 3631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155181884765625 × 214)
    floor (0.155181884765625 × 16384)
    floor (2542.5)     		ty = 2542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3631 / 2542 ti = "14/3631/2542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3631/2542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3631 ÷ 214
    3631 ÷ 16384     		x = 0.22161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2542 ÷ 214
    2542 ÷ 16384     		y = 0.1551513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22161865234375 × 2 - 1) × π
    -0.5567626953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74912159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1551513671875 × 2 - 1) × π
    0.689697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16674786282654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74912159} λ = -1.74912159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16674786282654))-π/2
    2×atan(8.72984716500984)-π/2
    2×1.45674390055515-π/2
    2.9134878011103-1.57079632675     		φ = 1.34269147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74912159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.217285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34269147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.930554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3631 KachelY 2542 -1.74912159 1.34269147 -100.217285 76.930554
    Oben rechts KachelX + 1 3632 KachelY 2542 -1.74873810 1.34269147 -100.195313 76.930554
    Unten links KachelX 3631 KachelY + 1 2543 -1.74912159 1.34260474 -100.217285 76.925585
    Unten rechts KachelX + 1 3632 KachelY + 1 2543 -1.74873810 1.34260474 -100.195313 76.925585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34269147-1.34260474) × R
    8.67300000000348e-05 × 6371000     		dl = 552.556830000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34269147-1.34260474) × R
    8.67300000000348e-05 × 6371000     		dr = 552.556830000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74912159--1.74873810) × cos(1.34269147) × R
    0.000383489999999931 × 0.226131877988965 × 6371000     		do = 552.488748793015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74912159--1.74873810) × cos(1.34260474) × R
    0.000383489999999931 × 0.226216360544837 × 6371000     		du = 552.69515782302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34269147)-sin(1.34260474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226131877988965-0.226216360544837)×R²
    abs(-1.74873810--1.74912159)×8.4482555872345e-05×R²
    0.000383489999999931×8.4482555872345e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.4482555872345e-05×40589641000000     		ar = 305338.45819534m²