Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3631 / 1754
↖ ↑ ↗
← N 71.159391°
W 20.434570°		 ← 1 578.03 m → N 71.159391°
W 20.390625°		 →
↑
1 578.61 m
↓
↑
1 578.61 m
↓
N 71.145194°
W 20.434570°		 ← 1 579.17 m →
2 491 988 m²		 N 71.145194°
W 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44329833984375 y=0.21417236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44329833984375 × 213)
    floor (0.44329833984375 × 8192)
    floor (3631.5)     		tx = 3631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21417236328125 × 213)
    floor (0.21417236328125 × 8192)
    floor (1754.5)     		ty = 1754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3631 / 1754 ti = "13/3631/1754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3631/1754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3631 ÷ 213
    3631 ÷ 8192     		x = 0.4432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1754 ÷ 213
    1754 ÷ 8192     		y = 0.214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35665053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214111328125 × 2 - 1) × π
    0.57177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79629150256274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35665053} λ = -0.35665053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79629150256274))-π/2
    2×atan(6.02725391117705)-π/2
    2×1.40638100035856-π/2
    2.81276200071712-1.57079632675     		φ = 1.24196567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35665053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.434570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24196567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.159391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3631 KachelY 1754 -0.35665053 1.24196567 -20.434570 71.159391
    Oben rechts KachelX + 1 3632 KachelY 1754 -0.35588354 1.24196567 -20.390625 71.159391
    Unten links KachelX 3631 KachelY + 1 1755 -0.35665053 1.24171789 -20.434570 71.145194
    Unten rechts KachelX + 1 3632 KachelY + 1 1755 -0.35588354 1.24171789 -20.390625 71.145194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24196567-1.24171789) × R
    0.000247779999999809 × 6371000     		dl = 1578.60637999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24196567-1.24171789) × R
    0.000247779999999809 × 6371000     		dr = 1578.60637999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35665053--0.35588354) × cos(1.24196567) × R
    0.000766990000000023 × 0.322936558918546 × 6371000     		do = 1578.02732825121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35665053--0.35588354) × cos(1.24171789) × R
    0.000766990000000023 × 0.32317105310259 × 6371000     		du = 1579.17318250809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24196567)-sin(1.24171789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322936558918546-0.32317105310259)×R²
    abs(-0.35588354--0.35665053)×0.000234494184044309×R²
    0.000766990000000023×0.000234494184044309×6371000²
    0.000766990000000023×0.000234494184044309×40589641000000     		ar = 2491988.44736143m²