Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3631 / 1746
↖ ↑ ↗
← N 71.272594°
W 20.434570°		 ← 1 568.89 m → N 71.272594°
W 20.390625°		 →
↑
1 569.43 m
↓
↑
1 569.43 m
↓
N 71.258480°
W 20.434570°		 ← 1 570.03 m →
2 463 156 m²		 N 71.258480°
W 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44329833984375 y=0.21319580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44329833984375 × 213)
    floor (0.44329833984375 × 8192)
    floor (3631.5)     		tx = 3631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21319580078125 × 213)
    floor (0.21319580078125 × 8192)
    floor (1746.5)     		ty = 1746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3631 / 1746 ti = "13/3631/1746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3631/1746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3631 ÷ 213
    3631 ÷ 8192     		x = 0.4432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1746 ÷ 213
    1746 ÷ 8192     		y = 0.213134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35665053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213134765625 × 2 - 1) × π
    0.57373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80242742571411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35665053} λ = -0.35665053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80242742571411))-π/2
    2×atan(6.06435037211788)-π/2
    2×1.40736888547405-π/2
    2.81473777094809-1.57079632675     		φ = 1.24394144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35665053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.434570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24394144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.272594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3631 KachelY 1746 -0.35665053 1.24394144 -20.434570 71.272594
    Oben rechts KachelX + 1 3632 KachelY 1746 -0.35588354 1.24394144 -20.390625 71.272594
    Unten links KachelX 3631 KachelY + 1 1747 -0.35665053 1.24369510 -20.434570 71.258480
    Unten rechts KachelX + 1 3632 KachelY + 1 1747 -0.35588354 1.24369510 -20.390625 71.258480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24394144-1.24369510) × R
    0.000246339999999901 × 6371000     		dl = 1569.43213999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24394144-1.24369510) × R
    0.000246339999999901 × 6371000     		dr = 1569.43213999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35665053--0.35588354) × cos(1.24394144) × R
    0.000766990000000023 × 0.32106602036008 × 6371000     		do = 1568.88695413658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35665053--0.35588354) × cos(1.24369510) × R
    0.000766990000000023 × 0.321299308591804 × 6371000     		du = 1570.02691551554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24394144)-sin(1.24369510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32106602036008-0.321299308591804)×R²
    abs(-0.35588354--0.35665053)×0.000233288231724471×R²
    0.000766990000000023×0.000233288231724471×6371000²
    0.000766990000000023×0.000233288231724471×40589641000000     		ar = 2463156.16831672m²