Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36305 / 102769
↖ ↑ ↗
← S 70.946252°
W 80.285339°		 ← 99.69 m → S 70.946252°
W 80.282593°		 →
↑
99.71 m
↓
↑
99.71 m
↓
S 70.947149°
W 80.285339°		 ← 99.68 m →
9 939 m²		 S 70.947149°
W 80.282593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276988983154297 y=0.784069061279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276988983154297 × 217)
    floor (0.276988983154297 × 131072)
    floor (36305.5)     		tx = 36305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784069061279297 × 217)
    floor (0.784069061279297 × 131072)
    floor (102769.5)     		ty = 102769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36305 / 102769 ti = "17/36305/102769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36305/102769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36305 ÷ 217
    36305 ÷ 131072     		x = 0.276985168457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102769 ÷ 217
    102769 ÷ 131072     		y = 0.784065246582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276985168457031 × 2 - 1) × π
    -0.446029663085938 × 3.1415926535     		Λ = -1.40124351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784065246582031 × 2 - 1) × π
    -0.568130493164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.78483458355355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40124351} λ = -1.40124351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78483458355355))-π/2
    2×atan(0.16782481968955)-π/2
    2×0.166275316935093-π/2
    0.332550633870185-1.57079632675     		φ = -1.23824569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40124351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.285339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23824569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.946252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36305 KachelY 102769 -1.40124351 -1.23824569 -80.285339 -70.946252
    Oben rechts KachelX + 1 36306 KachelY 102769 -1.40119558 -1.23824569 -80.282593 -70.946252
    Unten links KachelX 36305 KachelY + 1 102770 -1.40124351 -1.23826134 -80.285339 -70.947149
    Unten rechts KachelX + 1 36306 KachelY + 1 102770 -1.40119558 -1.23826134 -80.282593 -70.947149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23824569--1.23826134) × R
    1.56499999999227e-05 × 6371000     		dl = 99.7061499995073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23824569--1.23826134) × R
    1.56499999999227e-05 × 6371000     		dr = 99.7061499995073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40124351--1.40119558) × cos(-1.23824569) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.326454982118816 × 6371000     		do = 99.6869560434765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40124351--1.40119558) × cos(-1.23826134) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.326440189499286 × 6371000     		du = 99.6824389391476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23824569)-sin(-1.23826134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326454982118816-0.326440189499286)×R²
    abs(-1.40119558--1.40124351)×1.47926195305237e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47926195305237e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47926195305237e-05×40589641000000     		ar = 9939.17740083461m²