Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36300 / 38588
↖ ↑ ↗
← S 30.429729°
E 19.401856°		 ← 526.65 m → S 30.429729°
E 19.407348°		 →
↑
526.69 m
↓
↑
526.69 m
↓
S 30.434466°
E 19.401856°		 ← 526.63 m →
277 376 m²		 S 30.434466°
E 19.407348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553901672363281 y=0.588813781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553901672363281 × 216)
    floor (0.553901672363281 × 65536)
    floor (36300.5)     		tx = 36300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588813781738281 × 216)
    floor (0.588813781738281 × 65536)
    floor (38588.5)     		ty = 38588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36300 / 38588 ti = "16/36300/38588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36300/38588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36300 ÷ 216
    36300 ÷ 65536     		x = 0.55389404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38588 ÷ 216
    38588 ÷ 65536     		y = 0.58880615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55389404296875 × 2 - 1) × π
    0.1077880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.33862626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58880615234375 × 2 - 1) × π
    -0.1776123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.557985511577454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33862626} λ = 0.33862626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557985511577454))-π/2
    2×atan(0.572360917703385)-π/2
    2×0.519848677616426-π/2
    1.03969735523285-1.57079632675     		φ = -0.53109897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33862626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.401856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53109897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.429729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36300 KachelY 38588 0.33862626 -0.53109897 19.401856 -30.429729
    Oben rechts KachelX + 1 36301 KachelY 38588 0.33872213 -0.53109897 19.407348 -30.429729
    Unten links KachelX 36300 KachelY + 1 38589 0.33862626 -0.53118164 19.401856 -30.434466
    Unten rechts KachelX + 1 36301 KachelY + 1 38589 0.33872213 -0.53118164 19.407348 -30.434466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53109897--0.53118164) × R
    8.26700000000624e-05 × 6371000     		dl = 526.690570000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53109897--0.53118164) × R
    8.26700000000624e-05 × 6371000     		dr = 526.690570000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33862626-0.33872213) × cos(-0.53109897) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.862250983629484 × 6371000     		do = 526.652355471348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33862626-0.33872213) × cos(-0.53118164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.862209109879395 × 6371000     		du = 526.626779496909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53109897)-sin(-0.53118164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862250983629484-0.862209109879395)×R²
    abs(0.33872213-0.33862626)×4.18737500886834e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.18737500886834e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.18737500886834e-05×40589641000000     		ar = 277376.094141073m²