Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3630 / 5346
↖ ↑ ↗
← S 48.048710°
W 20.478515°		 ← 3 266.61 m → S 48.048710°
W 20.434570°		 →
↑
3 265.71 m
↓
↑
3 265.71 m
↓
S 48.078079°
W 20.478515°		 ← 3 264.75 m →
10 664 774 m²		 S 48.078079°
W 20.434570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44317626953125 y=0.65264892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44317626953125 × 213)
    floor (0.44317626953125 × 8192)
    floor (3630.5)     		tx = 3630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65264892578125 × 213)
    floor (0.65264892578125 × 8192)
    floor (5346.5)     		ty = 5346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3630 / 5346 ti = "13/3630/5346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3630/5346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3630 ÷ 213
    3630 ÷ 8192     		x = 0.443115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5346 ÷ 213
    5346 ÷ 8192     		y = 0.652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.11376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35741752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.30517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.958737992401123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35741752} λ = -0.35741752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958737992401123))-π/2
    2×atan(0.383376404744776)-π/2
    2×0.366094068487052-π/2
    0.732188136974103-1.57079632675     		φ = -0.83860819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35741752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.478515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83860819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.048710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3630 KachelY 5346 -0.35741752 -0.83860819 -20.478515 -48.048710
    Oben rechts KachelX + 1 3631 KachelY 5346 -0.35665053 -0.83860819 -20.434570 -48.048710
    Unten links KachelX 3630 KachelY + 1 5347 -0.35741752 -0.83912078 -20.478515 -48.078079
    Unten rechts KachelX + 1 3631 KachelY + 1 5347 -0.35665053 -0.83912078 -20.434570 -48.078079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83860819--0.83912078) × R
    0.000512590000000035 × 6371000     		dl = 3265.71089000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83860819--0.83912078) × R
    0.000512590000000035 × 6371000     		dr = 3265.71089000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35741752--0.35665053) × cos(-0.83860819) × R
    0.000766989999999967 × 0.668498580764785 × 6371000     		do = 3266.61382928151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35741752--0.35665053) × cos(-0.83912078) × R
    0.000766989999999967 × 0.668117272897252 × 6371000     		du = 3264.75057094538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83860819)-sin(-0.83912078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668498580764785-0.668117272897252)×R²
    abs(-0.35665053--0.35741752)×0.000381307867532987×R²
    0.000766989999999967×0.000381307867532987×6371000²
    0.000766989999999967×0.000381307867532987×40589641000000     		ar = 10664774.1577045m²