Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3630 / 2422
↖ ↑ ↗
← N 77.513624°
W100.239258°		 ← 528.26 m → N 77.513624°
W100.217285°		 →
↑
528.35 m
↓
↑
528.35 m
↓
N 77.508872°
W100.239258°		 ← 528.45 m →
279 154 m²		 N 77.508872°
W100.217285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221588134765625 y=0.147857666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221588134765625 × 214)
    floor (0.221588134765625 × 16384)
    floor (3630.5)     		tx = 3630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147857666015625 × 214)
    floor (0.147857666015625 × 16384)
    floor (2422.5)     		ty = 2422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3630 / 2422 ti = "14/3630/2422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3630/2422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3630 ÷ 214
    3630 ÷ 16384     		x = 0.2215576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2422 ÷ 214
    2422 ÷ 16384     		y = 0.1478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2215576171875 × 2 - 1) × π
    -0.556884765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74950509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1478271484375 × 2 - 1) × π
    0.704345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21276728646179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74950509} λ = -1.74950509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21276728646179))-π/2
    2×atan(9.14097712732801)-π/2
    2×1.4618321407379-π/2
    2.92366428147579-1.57079632675     		φ = 1.35286795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74950509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.239258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35286795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.513624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3630 KachelY 2422 -1.74950509 1.35286795 -100.239258 77.513624
    Oben rechts KachelX + 1 3631 KachelY 2422 -1.74912159 1.35286795 -100.217285 77.513624
    Unten links KachelX 3630 KachelY + 1 2423 -1.74950509 1.35278502 -100.239258 77.508872
    Unten rechts KachelX + 1 3631 KachelY + 1 2423 -1.74912159 1.35278502 -100.217285 77.508872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35286795-1.35278502) × R
    8.29300000000366e-05 × 6371000     		dl = 528.347030000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35286795-1.35278502) × R
    8.29300000000366e-05 × 6371000     		dr = 528.347030000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74950509--1.74912159) × cos(1.35286795) × R
    0.000383500000000092 × 0.216207464445656 × 6371000     		do = 528.255049419712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74950509--1.74912159) × cos(1.35278502) × R
    0.000383500000000092 × 0.216288432195662 × 6371000     		du = 528.452876182495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35286795)-sin(1.35278502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216207464445656-0.216288432195662)×R²
    abs(-1.74912159--1.74950509)×8.09677500059336e-05×R²
    0.000383500000000092×8.09677500059336e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.09677500059336e-05×40589641000000     		ar = 279154.247193719m²