Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36295 / 105224
↖ ↑ ↗
← S 73.029006°
W 80.312805°		 ← 89.15 m → S 73.029006°
W 80.310058°		 →
↑
89.13 m
↓
↑
89.13 m
↓
S 73.029808°
W 80.312805°		 ← 89.15 m →
7 946 m²		 S 73.029808°
W 80.310058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276912689208984 y=0.802799224853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276912689208984 × 217)
    floor (0.276912689208984 × 131072)
    floor (36295.5)     		tx = 36295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802799224853516 × 217)
    floor (0.802799224853516 × 131072)
    floor (105224.5)     		ty = 105224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36295 / 105224 ti = "17/36295/105224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36295/105224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36295 ÷ 217
    36295 ÷ 131072     		x = 0.276908874511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105224 ÷ 217
    105224 ÷ 131072     		y = 0.80279541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276908874511719 × 2 - 1) × π
    -0.446182250976562 × 3.1415926535     		Λ = -1.40172288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.6055908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90251967212079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40172288} λ = -1.40172288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90251967212079))-π/2
    2×atan(0.149192229730823)-π/2
    2×0.148099858775623-π/2
    0.296199717551246-1.57079632675     		φ = -1.27459661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40172288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.312805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27459661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.029006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36295 KachelY 105224 -1.40172288 -1.27459661 -80.312805 -73.029006
    Oben rechts KachelX + 1 36296 KachelY 105224 -1.40167494 -1.27459661 -80.310058 -73.029006
    Unten links KachelX 36295 KachelY + 1 105225 -1.40172288 -1.27461060 -80.312805 -73.029808
    Unten rechts KachelX + 1 36296 KachelY + 1 105225 -1.40167494 -1.27461060 -80.310058 -73.029808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27459661--1.27461060) × R
    1.39900000000193e-05 × 6371000     		dl = 89.1302900001227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27459661--1.27461060) × R
    1.39900000000193e-05 × 6371000     		dr = 89.1302900001227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40172288--1.40167494) × cos(-1.27459661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291887532213943 × 6371000     		do = 89.1499655231588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40172288--1.40167494) × cos(-1.27461060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291874151412829 × 6371000     		du = 89.1458786820767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27459661)-sin(-1.27461060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291887532213943-0.291874151412829)×R²
    abs(-1.40167494--1.40172288)×1.33808011141268e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33808011141268e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33808011141268e-05×40589641000000     		ar = 7945.78014991297m²