Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36287 / 102591
↖ ↑ ↗
← S 70.786006°
W 80.334778°		 ← 100.51 m → S 70.786006°
W 80.332031°		 →
↑
100.47 m
↓
↑
100.47 m
↓
S 70.786910°
W 80.334778°		 ← 100.51 m →
10 099 m²		 S 70.786910°
W 80.332031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276851654052734 y=0.782711029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276851654052734 × 217)
    floor (0.276851654052734 × 131072)
    floor (36287.5)     		tx = 36287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782711029052734 × 217)
    floor (0.782711029052734 × 131072)
    floor (102591.5)     		ty = 102591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36287 / 102591 ti = "17/36287/102591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36287/102591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36287 ÷ 217
    36287 ÷ 131072     		x = 0.276847839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102591 ÷ 217
    102591 ÷ 131072     		y = 0.782707214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276847839355469 × 2 - 1) × π
    -0.446304321289062 × 3.1415926535     		Λ = -1.40210638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782707214355469 × 2 - 1) × π
    -0.565414428710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.77630181542118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40210638} λ = -1.40210638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77630181542118))-π/2
    2×atan(0.169262956882761)-π/2
    2×0.167673729158753-π/2
    0.335347458317505-1.57079632675     		φ = -1.23544887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40210638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.334778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23544887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.786006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36287 KachelY 102591 -1.40210638 -1.23544887 -80.334778 -70.786006
    Oben rechts KachelX + 1 36288 KachelY 102591 -1.40205844 -1.23544887 -80.332031 -70.786006
    Unten links KachelX 36287 KachelY + 1 102592 -1.40210638 -1.23546464 -80.334778 -70.786910
    Unten rechts KachelX + 1 36288 KachelY + 1 102592 -1.40205844 -1.23546464 -80.332031 -70.786910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23544887--1.23546464) × R
    1.57700000000816e-05 × 6371000     		dl = 100.47067000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23544887--1.23546464) × R
    1.57700000000816e-05 × 6371000     		dr = 100.47067000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40210638--1.40205844) × cos(-1.23544887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329097291801023 × 6371000     		do = 100.514783880257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40210638--1.40205844) × cos(-1.23546464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329082400211873 × 6371000     		du = 100.510235605622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23544887)-sin(-1.23546464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329097291801023-0.329082400211873)×R²
    abs(-1.40205844--1.40210638)×1.48915891497459e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48915891497459e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48915891497459e-05×40589641000000     		ar = 10098.5591975864m²