Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36283 / 38617
↖ ↑ ↗
← S 30.566991°
E 19.308471°		 ← 525.96 m → S 30.566991°
E 19.313965°		 →
↑
525.93 m
↓
↑
525.93 m
↓
S 30.571720°
E 19.308471°		 ← 525.94 m →
276 612 m²		 S 30.571720°
E 19.313965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553642272949219 y=0.589256286621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553642272949219 × 216)
    floor (0.553642272949219 × 65536)
    floor (36283.5)     		tx = 36283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589256286621094 × 216)
    floor (0.589256286621094 × 65536)
    floor (38617.5)     		ty = 38617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36283 / 38617 ti = "16/36283/38617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36283/38617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36283 ÷ 216
    36283 ÷ 65536     		x = 0.553634643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38617 ÷ 216
    38617 ÷ 65536     		y = 0.589248657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553634643554688 × 2 - 1) × π
    0.107269287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.33699640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589248657226562 × 2 - 1) × π
    -0.178497314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.560765851755417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33699640} λ = 0.33699640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560765851755417))-π/2
    2×atan(0.570771769857116)-π/2
    2×0.518650846822558-π/2
    1.03730169364512-1.57079632675     		φ = -0.53349463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33699640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.308471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53349463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.566991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36283 KachelY 38617 0.33699640 -0.53349463 19.308471 -30.566991
    Oben rechts KachelX + 1 36284 KachelY 38617 0.33709228 -0.53349463 19.313965 -30.566991
    Unten links KachelX 36283 KachelY + 1 38618 0.33699640 -0.53357718 19.308471 -30.571720
    Unten rechts KachelX + 1 36284 KachelY + 1 38618 0.33709228 -0.53357718 19.313965 -30.571720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53349463--0.53357718) × R
    8.25500000000146e-05 × 6371000     		dl = 525.926050000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53349463--0.53357718) × R
    8.25500000000146e-05 × 6371000     		dr = 525.926050000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33699640-0.33709228) × cos(-0.53349463) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.861035153646512 × 6371000     		do = 525.964597937264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33699640-0.33709228) × cos(-0.53357718) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.860993170286754 × 6371000     		du = 525.93895233982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53349463)-sin(-0.53357718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861035153646512-0.860993170286754)×R²
    abs(0.33709228-0.33699640)×4.19833597582464e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.19833597582464e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.19833597582464e-05×40589641000000     		ar = 276611.739746007m²