Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36283 / 38612
↖ ↑ ↗
← S 30.543339°
E 19.308471°		 ← 526.09 m → S 30.543339°
E 19.313965°		 →
↑
526.05 m
↓
↑
526.05 m
↓
S 30.548070°
E 19.308471°		 ← 526.07 m →
276 746 m²		 S 30.548070°
E 19.313965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553642272949219 y=0.589179992675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553642272949219 × 216)
    floor (0.553642272949219 × 65536)
    floor (36283.5)     		tx = 36283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589179992675781 × 216)
    floor (0.589179992675781 × 65536)
    floor (38612.5)     		ty = 38612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36283 / 38612 ti = "16/36283/38612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36283/38612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36283 ÷ 216
    36283 ÷ 65536     		x = 0.553634643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38612 ÷ 216
    38612 ÷ 65536     		y = 0.58917236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553634643554688 × 2 - 1) × π
    0.107269287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.33699640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58917236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1783447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.560286482759216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33699640} λ = 0.33699640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560286482759216))-π/2
    2×atan(0.571045445738117)-π/2
    2×0.518857248752365-π/2
    1.03771449750473-1.57079632675     		φ = -0.53308183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33699640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.308471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53308183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.543339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36283 KachelY 38612 0.33699640 -0.53308183 19.308471 -30.543339
    Oben rechts KachelX + 1 36284 KachelY 38612 0.33709228 -0.53308183 19.313965 -30.543339
    Unten links KachelX 36283 KachelY + 1 38613 0.33699640 -0.53316440 19.308471 -30.548070
    Unten rechts KachelX + 1 36284 KachelY + 1 38613 0.33709228 -0.53316440 19.313965 -30.548070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53308183--0.53316440) × R
    8.2570000000004e-05 × 6371000     		dl = 526.053470000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53308183--0.53316440) × R
    8.2570000000004e-05 × 6371000     		dr = 526.053470000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33699640-0.33709228) × cos(-0.53308183) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.861245007836189 × 6371000     		do = 526.092787679612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33699640-0.33709228) × cos(-0.53316440) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.861203043655255 × 6371000     		du = 526.067153797582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53308183)-sin(-0.53316440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861245007836189-0.861203043655255)×R²
    abs(0.33709228-0.33699640)×4.19641809336069e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.19641809336069e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.19641809336069e-05×40589641000000     		ar = 276746.19426211m²